\(
\def\R{{\sf I\kern -.1em\sf R}}
\def\N{{\sf I\kern -.1em\sf N}}
\def\K{{\sf I\kern -.1em\sf K}}
\def\Z{{\sf Z\kern -.4em \sf Z}}
\def\B{{\sf I\kern -.1em \sf B}}
\newcommand{\C}{{\sf \,\,I\!\!\!\sf C}}
\newcommand{\Q}{{\sf \,\,I\!\!\!\sf Q}}
\let\leq=\leqslant
\let\geq=\geqslant
\let\ge=\geq
\let\le=\leq
\def\vect#1{\overrightarrow{#1}}
\def\crochetentierouvrant{\mathopen{[\![}}
\def\crochetentierfermant{\mathclose{]\!]}}
\newcommand{\Et}[1][et]{\qquad\mbox{#1}\qquad} % Dans les formules
\newcommand{\Ou}{\Et[ou]} % display‚es
\newcommand{\Avec}{\Et[avec]} %
\newcommand{\et}[1][et]{\quad\mbox{#1}\quad} % Dans les formules
\newcommand{\ou}{\et[ou]} % display‚es
\newcommand{\avec}{\et[avec]} %
\newcommand\res[1]{\fbox{#1}}
\let\oldphi=\phi
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\let\epsilon=\eps
\newcommand{\fonction}[5][rcl]
{\begin{array}[t]{#1}
#2& \longrightarrow& #3\\
#4& \longmapsto& #5\end{array}}
\newcommand{\matrice}[2]{\left(\begin{array}{#1}#2\\\end{array}\right)}
\newcommand{\determ}[2]{\left|\begin{array}{#1}#2\\\end{array}\right|}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\def\restr#1{_{|_{#1}}}
\def\O{{\rm{O}}}
\def\o{{\rm{o}}}
\def\To_#1{\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}}
\def\diff{\textrm d}
\newcommand{\motreserve}[2]{
\def#1{\mathop{\rm #2}\nolimits}}
\def\card{\Card}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\tg{\mathop{\rm tan}\nolimits}
\def\cotg{\mathop{\rm cotan}\nolimits}
\let\cotan=\cotg
\def\argch{\mathop{\rm argch}\nolimits}
\def\argsh{\mathop{\rm argsh}\nolimits}
\def\arcsin{\mathop{\rm arcsin}\nolimits}
\def\arccos{\mathop{\rm arccos}\nolimits}
\def\argth{\mathop{\rm argth}\nolimits}
\def\arctg{\mathop{\rm arctan}\nolimits}
\let\arctan=\arctg
\def\Arg{\mathop{\rm Arg}\nolimits}
\def\Id{\mathop{\rm Id}\nolimits}
\def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits}
\let\ker=\Ker
\def\det{\mathop{\rm det}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\rg{\mathop{\rm rg}\nolimits}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
\let\tr=\Tr
\def\Mat{\mathop{\rm Mat}\nolimits}
\def\Diag{\mathop{\rm Diag}\nolimits}
\def\Vect{\mathop{\rm Vect}\nolimits}
\def\Card{\mathop{\rm card}\nolimits\,}
\def\grad{\mathop{\vect{{\rm grad}}}\nolimits}
\def\divergence{\mathop{\rm div}\nolimits}
\def\rot{\mathop{\rm rot}\nolimits}
\let\emptyset=\varnothing
%%%%%%% ALGEBRE LINEAIRE %%%%%%%%%
\def\lin{{\mathcal L}}
\newcommand\Mn[1][n]{\mathcal{M}_{#1}}
\def\GL{{\mathcal{GL}}}
\def\GA{{\mathcal{GA}}}
\newcommand\GLn[1][n]{\mathcal{GL}_{#1}}
\def\SO{{\mathcal{SO}}}
\newcommand\SOn[1][n]{\mathcal{S\mskip-0.3\thinmuskip O}_{#1}}
\def\OO{{\mathcal O}}
\newcommand\OOn[1][n]{\mathcal{O}_{#1}}
\def\SL{{\mathcal{SL}}}
\newcommand\SLn[1][n]{\mathcal{SL}_{#1}}
\def\BL{{\mathcal{BL}}}
\newcommand\Sn[1][n]{\mathcal{S}_{#1}}
\newcommand\An[1][n]{\mathcal{A}_{#1}}
\motreserve{\Hom}{Hom}
\motreserve{\End}{End}
\motreserve{\Aut}{Aut}
\motreserve{\af}{Aff}
\def\transpose#1{{\vphantom{#1}}^{t}\!{#1}}
\motreserve{\Diag}{Diag}
\motreserve{\Trig}{Trig}
\motreserve{\Com}{Com}
\motreserve{\codim}{codim}
\let\com=\Com
\motreserve{\sp}{sp}
\let\Sp=\sp
\motreserve{\car}{car}
\let\Car=\car
\motreserve\rang{rang}
%%% EVN, EUCLIDIENS %%%%%%
\def\norme#1{\mathopen\|#1\mathclose\|}
\def\Norme#1{\bigl\|#1\bigr\|}
\def\NORME#1{\left\|#1\right\|}
\def\troisbarres{|\!|\!|}
\def\Troisbarres{\big|\!\big|\!\big|}
\def\TROISBARRESL{\left|\!\left|\!\left|}
\def\TROISBARRESR{\right|\!\right|\!\right|}
\def\normeop#1{\mathopen{\troisbarres}#1\mathclose{\troisbarres}}
\def\Normeop#1{\mathopen{\Troisbarres}#1\mathclose{\Troisbarres}}
\def\NORMEOP#1{\TROISBARRESL#1\TROISBARRESR}
\def\va#1{\mathopen|#1\mathclose|}
\def\Va#1{\bigl|#1\bigr|}
\def\VA#1{\left|#1\right|}
\def\angle#1{\widehat{(#1)}}
\motreserve{\Diam}{Diam}
\motreserve{\Is}{Is}
\motreserve{\Det}{Det}
\def\ps#1#2{\mathopen{\mbox{(}}\,#1\mathrel{|}#2\,\mathclose{\mbox{)}}}
\def\Ps#1#2{\bigl(#1\bigm|#2\,\bigr)}
\def\PS#1#2{%
\left(\,#1\vphantom{#2}\,\right|\left.\vphantom{#1}#2\,\right)}
%%%%%%% ENSEMBLES DE FONCTIONS %%%%%%%%%
\def\FF{{\mathcal F}} % ensemble des fonctions
\def\CC{{\mathcal C}} % fonctions continues ou de classe C^k
\newcommand\CM[1][]{{\mathcal C}^{#1}\!{\mathcal M}}
% fonctions continues ou de classe C^k par morceaux
\def\LL{{\mathcal L}} % fonctions int‚grables
\def\PP{{\mathcal P}}
\def\tq{\mid}
\def\Tq{\bigm|}
\def\tq{\mid}
\def\Tq{\bigm|}
\def\pour{\,;\;}
%\def\un{\mathbb{1}}
\def\un{{ 1\kern -.35em 1}}
%%% Problème avec \max ET \min qui donnent old...
\def\max{\mathop{\rm max}\nolimits}
\def\min{\mathop{\rm min}\nolimits}
%%%%%%% DERIVEES PARTIELLES %%%%%%%%%
\newcommand\derp[2][x_j]{\frac{\partial #2}{\partial #1}}
%%%%%%% INTERVALLE ENTIERS %%%%%%%%%
\let\ceo=\crochetentierouvrant
\let\cef=\crochetentierfermant
%%%%%%% ABREVIATIONS COURANTES %%%%%%%%%
% \def\ssi{}\renewcommand{\ssi}[1][,]{si, et seulement si#1}
% \def\ssil{si, et seulement s'il}
% \def\cad{c'est-\`a-dire}
% \def\ie{\textit{i.e.}}
% \def\qq{quelque}
% \def\qcq{quelconque}
%
%%%%%%% ALGEBRE LINEAIRE %%%%%%%%%
% \def\SEP{sous-espace propre}
% \def\SEPS{sous-espaces propres}
% \def\vp{valeur propre}
% \def\vps{valeurs propres}
% \def\VP{vecteur propre}
% \def\VPS{vecteurs propres}
%
% \def\AL{application lin\'eaire}
% \def\ALS{applications lin\'eaires}
% \def\CL{combinaison lin\'eaire}
% \def\CLS{combinaisons lin\'eaires}
% \def\EV{espace vectoriel}
% \def\EVS{espaces vectoriels}
% \def\SEV{sous-\EV}
% \def\SEVS{sous-\EVS}
% \def\DF{dimension finie}
\def\vi{\vec\imath}
\def\vj{\vec\jmath}
\def\vk{\vec k}
\newcommand{\pM}[3]{#1\big|{#2\atop#3}}
\newcommand{\pv}[3]{\vec{#1}\big|{#2\atop#3}}
%%% EVN, EUCLIDIENS %%%%%%
\let\ch=\cosh
\let\sh=\sinh
\let\th=\tanh
\def\argcosh{\mathop{\rm argcosh}\nolimits}
\def\argsinh{\mathop{\rm argsinh}\nolimits}
\def\argtanh{\mathop{\rm argtanh}\nolimits}
\def\d{\mathinner{\rm d}\mathclose{}}
%%%%%%% PROBABILITES %%%%%%%%%
\def\Prob{{\mathbb P}}
\def\Esp{{\mathbb E}}
\def\Var{{\mathbb V}}
\newcommand{\Cov}{\textrm{Cov}}
\newcommand{\cov}{\textrm{Cov}}
\let\oldbigcup=\bigcup
\def\bigcup{\oldbigcup\limits}
%\let\oldlim=\lim
%\def\lim{\oldlim\limits}
\let\oldbigcap=\bigcap
\def\bigcap{\oldbigcap\limits}
\let\oldsum=\sum
\def\sum{\oldsum\limits}
\let\oldprod=\prod
\def\prod{\oldprod\limits}
\let\oldcoprod=\coprod
\def\coprod{\oldcoprod\limits}
%\let\oldsup=\sup
%\def\sup{\oldsup\limits}
%\let\oldinf=\inf
%\def\inf{\oldinf\limits}
\let\oldlimsup=\limsup
\def\limsup{\oldlimsup\limits}
\let\oldliminf=\liminf
\def\liminf{\oldliminf\limits}
\let\oldmax=\max
\def\max{\oldmax\limits}
\let\oldmin=\min
\def\min{\oldmin\limits}
\let\oldbigotimes=\bigotimes
\def\bigotimes{\oldbigotimes\limits}
\let\oldbigoplus=\bigoplus
\def\bigoplus{\oldbigoplus\limits}
\let\oldbigsqcup=\bigsqcup
\def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits}
\let\oldbigsqcap=\bigsqcap
\def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits}
\let\oldint=\int
\def\int{\displaystyle\oldint}
\)
Interprétation graphique de la relation :
$$\forall{u\in\mathopen{[}0,\pi\mathclose{]}}\quad
\forall{v\in\mathopen{[}0,\pi\mathclose{]}}\quad
\frac{1}{2}\,\sin u + \frac{1}{2}\,\sin v \leq \sin\Big(\frac{u+v}{2}\Big)\cdot
$$
Vous pouvez faire glisser les points rouges
sur $\mathopen{[}0,\pi\mathclose{]}$.
- Le point $P$ est $\ldots$
![[Indication]](../icones/IcoSolA.png)
![[Fermer]](../icones/IcoSolZ.png)
$\ldots$ le milieu du segment $M_uM_v$.
- Quelles sont les coordonnées du point $P$ ?
Étant donné que $P$ est le milieu des points $M_u$ et $M_v$
et que les points $M_u$ et $M_v$ ont pour coordonnées :
$\hskip15ex \pM{M_u}{u}{\sin u} \et \pM{M_v}{v}{\sin v}$
les coordonnées de $P$ sont :
![[Réponse]](../icones/IcoSolX.png)
$$
\frac{u+v}{2} \et \frac{\sin u+ \sin v}{2}\cdot
$$
- Quelles sont les coordonnées du point $M$ ?
Étant donné que $M$ est sur la courbe d'équation $ y =\sin x$,
et que son abscisse est $\frac{u+v}{2}$, son ordonnée est :
$$
\sin \Big(\frac{u+ v}{2}\Big)\cdot
$$
- Conclusion
La relation démontrée :
$$\forall{u\in\mathopen{[}0,\pi\mathclose{]}}\quad
\forall{v\in\mathopen{[}0,\pi\mathclose{]}}\quad
\frac{1}{2}\,\sin u + \frac{1}{2}\,\sin v \leq \sin\Big(\frac{u+v}{2}\Big)
$$
signifie graphiquement que, pour $u\in\mathopen{[}0,\pi\mathclose{]}$
et $v\in\mathopen{[}0,\pi\mathclose{]}$,
l'ordonnée du point $P$ est inférieure à celle du point $M$,
ou encore, comme on dit couramment, que $P$ se trouve en dessous de $M$.