Exercice

\( \def\R{{\sf I\kern -.1em\sf R}} \def\N{{\sf I\kern -.1em\sf N}} \def\K{{\sf I\kern -.1em\sf K}} \def\Z{{\sf Z\kern -.4em \sf Z}} \def\B{{\sf I\kern -.1em \sf B}} \newcommand{\C}{{\sf \,\,I\!\!\!\sf C}} \newcommand{\Q}{{\sf \,\,I\!\!\!\sf Q}} \let\leq=\leqslant \let\geq=\geqslant \let\ge=\geq \let\le=\leq \def\vect#1{\overrightarrow{#1}} \def\crochetentierouvrant{\mathopen{[\![}} \def\crochetentierfermant{\mathclose{]\!]}} \newcommand{\Et}[1][et]{\qquad\mbox{#1}\qquad} % Dans les formules \newcommand{\Ou}{\Et[ou]} % displayes \newcommand{\Avec}{\Et[avec]} % \newcommand{\et}[1][et]{\quad\mbox{#1}\quad} % Dans les formules \newcommand{\ou}{\et[ou]} % displayes \newcommand{\avec}{\et[avec]} % \newcommand\res[1]{\fbox{#1}} \let\oldphi=\phi \renewcommand{\phi}{\varphi} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \let\epsilon=\eps \newcommand{\fonction}[5][rcl] {\begin{array}[t]{#1} #2& \longrightarrow& #3\\ #4& \longmapsto& #5\end{array}} \newcommand{\matrice}[2]{\left(\begin{array}{#1}#2\\\end{array}\right)} \newcommand{\determ}[2]{\left|\begin{array}{#1}#2\\\end{array}\right|} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \def\restr#1{_{|_{#1}}} \def\O{{\rm{O}}} \def\o{{\rm{o}}} \def\To_#1{\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \def\diff{\textrm d} \newcommand{\motreserve}[2]{ \def#1{\mathop{\rm #2}\nolimits}} \def\card{\Card} \def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits} \def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits} \def\th{\mathop{\rm th}\nolimits} \def\tg{\mathop{\rm tan}\nolimits} \def\cotg{\mathop{\rm cotan}\nolimits} \let\cotan=\cotg \def\argch{\mathop{\rm argch}\nolimits} \def\argsh{\mathop{\rm argsh}\nolimits} \def\arcsin{\mathop{\rm arcsin}\nolimits} \def\arccos{\mathop{\rm arccos}\nolimits} \def\argth{\mathop{\rm argth}\nolimits} \def\arctg{\mathop{\rm arctan}\nolimits} \let\arctan=\arctg \def\Arg{\mathop{\rm Arg}\nolimits} \def\Id{\mathop{\rm Id}\nolimits} \def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits} \let\ker=\Ker \def\det{\mathop{\rm 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\def\ps#1#2{\mathopen{\mbox{(}}\,#1\mathrel{|}#2\,\mathclose{\mbox{)}}} \def\Ps#1#2{\bigl(#1\bigm|#2\,\bigr)} \def\PS#1#2{% \left(\,#1\vphantom{#2}\,\right|\left.\vphantom{#1}#2\,\right)} %%%%%%% ENSEMBLES DE FONCTIONS %%%%%%%%% \def\FF{{\mathcal F}} % ensemble des fonctions \def\CC{{\mathcal C}} % fonctions continues ou de classe C^k \newcommand\CM[1][]{{\mathcal C}^{#1}\!{\mathcal M}} % fonctions continues ou de classe C^k par morceaux \def\LL{{\mathcal L}} % fonctions intgrables \def\PP{{\mathcal P}} \def\tq{\mid} \def\Tq{\bigm|} \def\tq{\mid} \def\Tq{\bigm|} \def\pour{\,;\;} %\def\un{\mathbb{1}} \def\un{{ 1\kern -.35em 1}} %%% Problème avec \max ET \min qui donnent old... \def\max{\mathop{\rm max}\nolimits} \def\min{\mathop{\rm min}\nolimits} %%%%%%% DERIVEES PARTIELLES %%%%%%%%% \newcommand\derp[2][x_j]{\frac{\partial #2}{\partial #1}} %%%%%%% INTERVALLE ENTIERS %%%%%%%%% \let\ceo=\crochetentierouvrant \let\cef=\crochetentierfermant %%%%%%% ABREVIATIONS COURANTES %%%%%%%%% % \def\ssi{}\renewcommand{\ssi}[1][,]{si, et seulement si#1} % \def\ssil{si, et seulement s'il} % \def\cad{c'est-\`a-dire} % \def\ie{\textit{i.e.}} % \def\qq{quelque} % \def\qcq{quelconque} % %%%%%%% ALGEBRE LINEAIRE %%%%%%%%% % \def\SEP{sous-espace propre} % \def\SEPS{sous-espaces propres} % \def\vp{valeur propre} % \def\vps{valeurs propres} % \def\VP{vecteur propre} % \def\VPS{vecteurs propres} % % \def\AL{application lin\'eaire} % \def\ALS{applications lin\'eaires} % \def\CL{combinaison lin\'eaire} % \def\CLS{combinaisons lin\'eaires} % \def\EV{espace vectoriel} % \def\EVS{espaces vectoriels} % \def\SEV{sous-\EV} % \def\SEVS{sous-\EVS} % \def\DF{dimension finie} \def\vi{\vec\imath} \def\vj{\vec\jmath} \def\vk{\vec k} \newcommand{\pM}[3]{#1\big|{#2\atop#3}} \newcommand{\pv}[3]{\vec{#1}\big|{#2\atop#3}} %%% EVN, EUCLIDIENS %%%%%% \let\ch=\cosh \let\sh=\sinh \let\th=\tanh \def\argcosh{\mathop{\rm argcosh}\nolimits} \def\argsinh{\mathop{\rm argsinh}\nolimits} \def\argtanh{\mathop{\rm 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\let\oldbigsqcap=\bigsqcap \def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits} \let\oldint=\int \def\int{\displaystyle\oldint} \)

Feuille 4

Exercice Déterminer la limite en $0$ de $f$ définie par :

$\ds \hskip 5ex f(x)=\frac{\tan x+\tan 7x}{\tan 3x+\tan 5x}\cdot \hskip5ex$ [Indication]

La première chose à faire est $\ldots$ [Indication]

$\ldots$ de vérifier que l'on peut bien parler de cette limite. [Indication]

Il faut donc justifier que la fonction : \[ f : x \mapsto \frac{\tan x+\tan 7x}{\tan 3x+\tan 5x} \] est définie au voisinage de $0$. Ici, on peut s'en sortir sans beaucoup de calculs. [Indication]

Pour pouvoir définir $f(x)$, il est nécessaire :

de pouvoir définir $\tan x$, $\tan 3x$, $\tan 5x$ et $\tan 7x$ ;
Pour cela, il suffit d'avoir $x\in\mathopen{]}-\frac{\pi}{14},\frac{\pi}{14}\mathclose{[}\cdot$
En effet, avec la condition : $$x\in\mathopen{\Big]}-\frac{\pi}{14},\frac{\pi}{14}\mathclose{\Big[},$$ on est sûr d'avoir : \begin{align*} x&\in\mathopen{\Big]}-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\mathclose{\Big[} &3x\in\mathopen{\Big]}-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\mathclose{\Big[}\\ \\ 5x&\in\mathopen{\Big]}-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\mathclose{\Big[} &7x\in\mathopen{\Big]}-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\mathclose{\Big[} \end{align*} et donc que $\tan x$, $\tan 3x$, $\tan 5x$ et $\tan 7x$ sont bien définis.
d'avoir $\tan 3x +\tan 5x \neq 0$.
Si l'on voulait trouvait tous les $x$ vérifiant : \[ \tan 3x +\tan 5x = 0, \] alors il faudrait factoriser ce dénominateur. Mais, ici, ce n'est pas indispensable.

Il suffit de trouver un domaine « autour de $0$ » où l'on est sûr d'avoir : \[ \tan 3x +\tan 5x \neq 0. \]
Pour tout $x\in\mathopen{\big]}0,\frac{\pi}{14}\mathclose{\big[}$, on a : \[ 3x \in \mathopen{\Big]}0,\frac{\pi}{2}\mathclose{\Big[} \et[ainsi que] 5x \in \mathopen{\Big]}0,\frac{\pi}{2}\mathclose{\Big[} \] ce qui entraîne : \[ \tan 3x > 0 \et \tan 5x >0 \] et donc : \[ \tan 3x + \tan 5x >0. \] Comme ce dénominateur est une fonction impaire de $x$, on en déduit qu'il est défini et ne s'annule pas pour : $$x\in\mathopen{\Big]}-\frac{\pi}{14},0\mathclose{\Big[} \cup \mathopen{\Big]}0,\frac{\pi}{14}\mathclose{\Big[}\cdot$$ On peut donc en étudier la limite en $0$.

Ensuite, une première méthode s'appuie sur la factorisation du numérateur et du dénominateur. [Indication]

Le numérateur est une somme de deux fractions. Donc une factorisation commence par une mise au même dénominateur.
Il faudra utiliser une formule de type : $$\sin(a+b) = \cdots$$ Commencez par essayer de retrouver ce type de formule comme si vous étiez en DS mais, si vous avez des doutes (ou pour confirmation), voir chapitre de trigonométrie : partie III.1 Développement de $\cos(\theta\pm\phi)$.

Réduction du numérateur
Pour tout $x\in\mathopen{\big]}0,\frac{\pi}{14}\mathclose{\big[}$, on a : \begin{align*} \tan x +\tan 7x &= \frac{\sin x\,\cos 7x +\sin 7x \cos x}{\cos x\,\cos 7x}\\ \\ &= \frac{\sin 8x}{\cos x\,\cos 7x}\cdot \end{align*}
Travail identique pour lé dénominateur
Pour tout $x\in\mathopen{\big]}0,\frac{\pi}{14}\mathclose{\big[}$, on a : \begin{align*} \tan 3x +\tan 5x &= \frac{\sin 3x\,\cos 5x +\sin 5x \cos 3x}{\cos 3x\,\cos 5x}\\ \\ &= \frac{\sin 8x}{\cos 3x\,\cos 5x}\cdot \end{align*}

Ensuite c'est facile. Solution [Réponse]

Mais on peut aussi s'en sortir sans ces formules de trigonométrie, en divisant numérateur et dénominateur par $x$. [Indication]

De même que vous avez vu $\ds \lim\limits_{u \to 0}\frac{\sin u}{u}=\cdots$ [Indication]

on peut prouver que $\ds\lim\limits_{u \to 0}\Big(\frac{\tan u}{u}\Big)=\cdots$ [Indication]

Solution

Pour la définition de $\tan$ voir éventuellement le chapitre de trigonométrie : partie II.2 Sinus, cosinus (et tangente)

Exercice Déterminer le plus grand intervalle $I$ contenant $0$ tel que :

$ \hskip5ex \forall{x\in I}\quad \sin x+\sin 2x+\sin 7x+\sin 8x \geq 0. \hskip5ex $ [Indication]

Puisque l'on parle de signe, il est bon de factoriser. [Indication]

Pour avoir une factorisation intéressante, regrouper deux par deux les termes équidistants des extrémités. [Indication]

Si vous hésitez sur les formules de factorisation, commencez par essayer de les retrouver comme si vous étiez en DS mais, en cas de doute persistant (ou pour confirmation), voir chapitre de trigonométrie (III.6 Formules de factorisation).

Ensuite $\ldots$ [Indication]

Solution

Ne pourrait-on penser à une étude de variations ? [Indication]

Exercice Résoudre l'équation : $\sin 5x-\sin 3x=\cos 6x+\cos 2x$. [Indication]

Comme : $$\frac{5+3}{2}=\frac{6+2}{2}=4,$$ la factorisation des deux membres est intéressante. [Indication]

Comment, avec votre calculatrice, pouvez-vous vérifier ce que vous avez obtenu ? [Indication]

Solution

Exercice Déterminer $\ds \lim\limits\limits_{x\rightarrow 2}\frac{x-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x}}\cdot$ [Indication]

La première chose à faire est $\ldots$ [Indication]

Ensuite, si vous avez fait la moindre transformation, c'est vraiment dommage ! [Indication]

Solution

Exercice Déterminer le maximum et le minimum sur $\R$ de :

$\hskip5ex f: x \mapsto 3\,\cos x-2\sin x+1. \hskip5ex $ [Indication]

Il est évidemment possible d'étudier les variations de $f$. [Indication]

Le plus efficace est ici de transformer $\ldots$ [Indication]

Solution complète [Réponse]

Exercice Résoudre l'équation : $3\,\sqrt{x-1}-x=1$. [Indication]

On a évidemment envie d'élever au carré pour « faire disparaître la racine » mais il faut prendre quelques précautions.

Il y a essentiellement deux rédaction possibles.

Mais avant tout, $\ldots$
$\ldots$ il faut parler du domaine de définition de l'équation.
Pour pouvoir écrire la relation : \[ 3\,\sqrt{x-1}-x=1, \] on a besoin d'avoir $x-1 \geq 0$.

Le domaine est donc $\mathopen{[}1,+\infty \mathclose{[}$.
Ici, avant d'élever au carré $\ldots$
Il faut commencer par isoler le radical et écrire l'équation sous la forme :
\[ 3\,\sqrt{x-1}=x+1. \]
Ensuite, on peut travailler par équivalence.
L'équation donnée est équivalente au système : \[ \left\{ \begin{array}{cc} 9\,(x-1)=\left( x+1\right) ^{2}\quad & (i) \\ \\ x+1\geq 0 &(ii) \end{array} \right. \] Comment le justifier si vous avez un doute ?
Tout simplement par double implication.
- Si $x$ vérifie : \[ 3\,\sqrt{x-1}=1+x \] alors :
  
  on a $1+x\geq 0$ car $\sqrt{x-1}$ est positif ;
  
  comme les carrés de deux nombres égaux sont égaux, on a : \[ 9\,(x-1)=\left( x+1\right) ^{2}. \] Donc toute solution de l'équation vérifie le système.
- Réciproquement supposons que $x$ vérifie : \[ 9\,(x-1)=\left( x+1\right) ^{2} \et 1+x\geq 0. \] Alors :
  
  l'égalité $9\,(x-1)=\left( x+1\right) ^{2}$ entraîne : $$x-1 \geq 0 ;$$
  
  cette même égalité nous donne : \[ x+1 = \pm3\,\sqrt{x-1}. \] Comme on a aussi supposé $x+1\geq 0$, on a donc : \[ 3\,\sqrt{x-1}=x+1. \]
  
  Ainsi, tout $x$ vérifiant le système est aussi solution de l'équation donnée.
On a bien prouvé l'équivalence attendue.
Si l'équivalence précédente vous perturbe ou vous angoisse quelque peu, nous verrons ci-dessous une autre méthode de rédaction qui évite de l'utiliser directement.

Au sujet de l'équation du second degré issue de $(i)$.
L'équation du second degré obtenue en développant $(i)$ est : \[ x^{2}-7x+10=0. \] Il n'y a pas de grands calculs à faire pour la résoudre.
En effet, il est immédiat de trouver deux réels $x_1$ et $x_2$ tels que : \[ x_1+x_2 = 7 \et x_1\,x_2 =10. \] Si vous n'êtes pas sûr de ces relations concernant la somme et le produit des racines d'une équation du second degré, commencez par essayer de les retrouver comme si vous étiez en DS
Il suffit de développer et d'identifier : \[ a\,(x-x_1)\,(x-x_2) = a\,x^2+b\,x+c. \]
mais, en cas de doute persistant (ou pour confirmation), voir chapitre sur le trinôme (I.3.c et II.3.d Relations entre coefficients et racines)
Solution
Résolvons, sur son domaine de définition $\mathopen{[}1,+\infty \mathclose{[}$, l'équation : \[ 3\,\sqrt{x-1}-x=1, \] ou encore : \[ 3\,\sqrt{x-1}=x+1. \] Par élévation au carré, elle est équivalente au système : \[ \left\{ \begin{array}{cc} 9\,(x-1)= (x+1)^{2}\quad & (i) \\ \\ x+1\geq 0 &(ii) \end{array} \right. \] L'équation $(i)$, qui s'écrit aussi : \[ x^{2}-7x+10=0, \] a deux solutions qui sont : \[ x=2 \et x=5. \] Comme ces deux valeurs vérifient $x+1\geq 0$, ce sont les solutions de l'équation donnée.
On peut aussi commencer par raisonner par implications.
Une autre façon de rédiger la solution est de commencer par supposer qu'un réel $x \geq 1$ est solution de l'équation donnée et donc que la relation : \[ 3\,\sqrt{x-1}=x+1 \] est une égalité, puis d'en déduire tout ce que l'on peut $\ldots$
Là, je pense qu'il y a beaucoup moins d'angoisse. En effet, il est évident que si des réels sont égaux, alors leurs carrés sont égaux ; on en déduit « quelques valeurs possibles » de $x$.

Évidemment, ensuite, $\ldots$
$\ldots$ il faut alors vérifier si ces valeurs trouvées sont, ou non, solutions de l'équation donnée.

Remarque : Au sujet de la condition $x+1 \geq 0$.
Dans ce cas, la condition $x+1 \geq 0$ n'apporte, comme vous pourrez vous en rendre compte, aucune restriction sur les valeurs de $x$ trouvées par conditions nécessaires ; c'est pourquoi elle n'a pas besoin de figurer dans la rédaction finale.

Solution
- Soit $x\in\mathopen{[}1,+\infty \mathclose{[}$, solution de l'équation donnée.
  
  On a alors l'égalité : \[ 3\,\sqrt{x-1}=x+1 \] Par élévation au carré, on en déduit : \[ 9\,(x-1)= (x+1)^{2} \] et donc : \[ x^{2}-7x+10=0 \] ce qui entraîne : \[ x=2 \ou x=5. \] On en déduit que $2$ et $5$ sont les seules solutions possibles de l'équation donnée.
- Réciproquement, on vérifie aisément que $2$ et $5$ en sont solutions, puisque : \[ 3\,\sqrt{2-1}-2 =3-2= 1 \] et \[ 3\,\sqrt{5-1}-5 = 3\times 2 -5 =1. \]
Par suite, les solutions de l'équation donnée sont $2$ et $5$.
Une dernière remarque sur le domaine de définition.
Comme on peut le voir ci-dessus, quelle que soit la méthode utilisée pour résoudre cette équation, le domaine définition disparaît dès la deuxième étape, puisque tout réel $x$ solution de : \[ x-1= 9\,(x+1)^{2} \] vérifie forcément $x-1 \geq 0$.

Toutefois, il est indispensable d'en parler au début, car on ne peut jamais écrire le moindre objet mathématique sans être sûr qu'il existe.

Pour finir, on peut (doit) évidemment vérifier graphiquement. [Indication]

Exercice Déterminer, en fonction du paramètre réel $m$, le nombre de racines de l'équation : \[ x^{2}-m\,x-1=0. \tag{$E_m$} \] situées dans l'intervalle $\mathopen{[}0,1\mathclose{]}$. [Indication]

On peut envisager deux méthodes pour résoudre cette question.

Considérer qu'il s'agit d'une équation du second degré dont on veut connaître le nombre de racines dans $\mathopen{[}0,1\mathclose{]}$.
Il faut donc :
- d'abord, étudier le nombre de racines de cette équation ;
  Ici, il n'est pas nécessaire de calculer de discriminant.
  En effet, avec les notations classiques, si $a\in\R^*$, $b\in\R$ et $c\in\R$, alors on est sûr que l'équation : \[ a\,x^2+b\,x+c=0 \] possède des racines réelles dès que les coefficients $a$ et $c$ sont de signes contraires.
- puis savoir combien de ces racines sont dans $\mathopen{[}0,1\mathclose{]}$ ou, ce qui est équivalent, placer $0$ et $1$ par rapport à ces racines.
  On peut faire cela sans expliciter les racines.
  
  Commencez par essayer de retrouver, comme si vous étiez en DS, cette méthode qui repose sur $\ldots$
  $\ldots$ l'étude des signes de $f_m(0)$ et $f_m(1)$ avec : \[ f_m : x\mapsto x^{2}-m\,x-1, \]
  mais, si vous avez des doutes (ou pour confirmation), voir chapitre sur le trinôme (I.5.b Position des racines).
  
  Ici, on a intérêt à commencer par $\ldots$
  $\ldots$ l'étude de $f_m(0)$.
Solution
Soit $m$ un réel quelconque. Considérons l'application : \[ f_m : x\mapsto x^{2}-m\,x-1. \] L'équation : \[ f_m(x) = 0 \tag{$E_m$} \] est du second degré et, puisqu'avec les notations classiques, on a $\frac{c}{a}<0$, elle possède deux racines réelles distinctes que nous noterons $x_1$ et $x_2$ avec $x_{1} < x_{2}$.
- Étant donné que $f_m(0)=-1 < 0 $ et que le coefficient de $x^2$ est positif, on a : \[ x_1 < 0 < x_2. \]
- On a de plus $f_m(1)=-m$. Par suite :
  - si $m \geq 0$, alors $1$ est extérieur (au sens large) aux racines et donc : \[ x_{1} < 0 < x_{2} \leq 1 ; \] par suite, $(E_m)$ possède alors une unique racine dans l'intervalle $\mathopen{[}0,1\mathclose{]}$
  - si $m > 0$, alors $1$ est intérieur aux racines et donc : \[ x_{1} < 0 < 1 < x_{2} ; \] par suite, $(E_m)$ ne possède alors aucune racine dans l'intervalle $\mathopen{[}0,1\mathclose{]}$.
Écrire l'équation sous la forme : \[ m=\frac{x^{2}-1}{x}, \] évidemment après vérification.
Avant de diviser par $x$, il faut s'assurer que $0$ n'est pas racine de l'équation, ce qui est évident.

Ensuite, il suffit d'étudier les variations de la fonction :
\[ \varphi : \fonction{\mathopen{]}0,1\mathclose{]}}{\R}{x}{\frac{x^{2}-1}{x}} \] étant donné que $\ldots$
$\ldots$ l'on s'intéresse aux solutions dans $\mathopen{[}0,1\mathclose{]}$ et que l'on doit travailler avec $x \neq 0$.

Faire intelligemment le calcul de la dérivée.
Il est plus facile de dériver la somme : \[ \varphi(x) = x-\frac{1}{x} \] que le quotient initial.

Solution
Comme $x=0$ n'en est évidemment pas solution, l'équation donnée est équivalente à : \[ m=\frac{x^{2}-1}{x}=x-\frac{1}{x}\cdot \] Soit : \[ \varphi : \fonction{\mathopen{]}0,1\mathclose{]}}{\R}{x}{x-\frac{1}{x}}\cdot \] Cette fonction est dérivable et, pour tout $x\in\mathopen{]}0,1\mathclose{]}$, on a : \[ \varphi'(x) = 1+\frac{1}{x^2} > 0. \] Par suite, $\varphi$ est strictement croissante sur l'intervalle $\mathopen{]}0,1\mathclose{]}$. Étant donné que : \[ \lim\limits_{0} \varphi = -\infty \et \varphi(1) = 0, \] nous avons le tableau de variations suivant : \[ \begin{array}{|c|lll|}\hline x & 0 & & 1 \\ \hline & & &0 \\ \varphi(x) & &\nearrow & \\ &-\infty & & \\ \hline \end{array} \] et la fonction $\varphi$ réalise une bijection de l'intervalle $\mathopen{]}0,1\mathclose{]}$ sur l'intervalle $\mathopen{]}-\infty,0\mathclose{]}$. Par suite,
- si $m\leq 0$ l'équation possède une unique solution dans $\mathopen{]}0,1\mathclose{]}$ ;
- si $m>0$ l'équation ne possède aucune solution dans $\mathopen{]}0,1\mathclose{]}$.