Exercice

\( \def\R{{\sf I\kern -.1em\sf R}} \def\N{{\sf I\kern -.1em\sf N}} \def\K{{\sf I\kern -.1em\sf K}} \def\Z{{\sf Z\kern -.4em \sf Z}} \def\B{{\sf I\kern -.1em \sf B}} \newcommand{\C}{{\sf \,\,I\!\!\!\sf C}} \newcommand{\Q}{{\sf \,\,I\!\!\!\sf Q}} \let\leq=\leqslant \let\geq=\geqslant \let\ge=\geq \let\le=\leq \def\vect#1{\overrightarrow{#1}} \def\crochetentierouvrant{\mathopen{[\![}} \def\crochetentierfermant{\mathclose{]\!]}} \newcommand{\Et}[1][et]{\qquad\mbox{#1}\qquad} % Dans les formules \newcommand{\Ou}{\Et[ou]} % displayes \newcommand{\Avec}{\Et[avec]} % \newcommand{\et}[1][et]{\quad\mbox{#1}\quad} % Dans les formules \newcommand{\ou}{\et[ou]} % displayes \newcommand{\avec}{\et[avec]} % \newcommand\res[1]{\fbox{#1}} \let\oldphi=\phi \renewcommand{\phi}{\varphi} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \let\epsilon=\eps \newcommand{\fonction}[5][rcl] {\begin{array}[t]{#1} #2& \longrightarrow& #3\\ #4& \longmapsto& #5\end{array}} \newcommand{\matrice}[2]{\left(\begin{array}{#1}#2\\\end{array}\right)} \newcommand{\determ}[2]{\left|\begin{array}{#1}#2\\\end{array}\right|} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \def\restr#1{_{|_{#1}}} \def\O{{\rm{O}}} \def\o{{\rm{o}}} \def\To_#1{\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \def\diff{\textrm d} \newcommand{\motreserve}[2]{ \def#1{\mathop{\rm #2}\nolimits}} \def\card{\Card} \def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits} \def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits} \def\th{\mathop{\rm th}\nolimits} \def\tg{\mathop{\rm tan}\nolimits} \def\cotg{\mathop{\rm cotan}\nolimits} \let\cotan=\cotg \def\argch{\mathop{\rm argch}\nolimits} \def\argsh{\mathop{\rm argsh}\nolimits} \def\arcsin{\mathop{\rm arcsin}\nolimits} \def\arccos{\mathop{\rm arccos}\nolimits} \def\argth{\mathop{\rm argth}\nolimits} \def\arctg{\mathop{\rm arctan}\nolimits} \let\arctan=\arctg \def\Arg{\mathop{\rm Arg}\nolimits} \def\Id{\mathop{\rm Id}\nolimits} \def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits} \let\ker=\Ker \def\det{\mathop{\rm 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\def\ps#1#2{\mathopen{\mbox{(}}\,#1\mathrel{|}#2\,\mathclose{\mbox{)}}} \def\Ps#1#2{\bigl(#1\bigm|#2\,\bigr)} \def\PS#1#2{% \left(\,#1\vphantom{#2}\,\right|\left.\vphantom{#1}#2\,\right)} %%%%%%% ENSEMBLES DE FONCTIONS %%%%%%%%% \def\FF{{\mathcal F}} % ensemble des fonctions \def\CC{{\mathcal C}} % fonctions continues ou de classe C^k \newcommand\CM[1][]{{\mathcal C}^{#1}\!{\mathcal M}} % fonctions continues ou de classe C^k par morceaux \def\LL{{\mathcal L}} % fonctions intgrables \def\PP{{\mathcal P}} \def\tq{\mid} \def\Tq{\bigm|} \def\tq{\mid} \def\Tq{\bigm|} \def\pour{\,;\;} %\def\un{\mathbb{1}} \def\un{{ 1\kern -.35em 1}} %%% Problème avec \max ET \min qui donnent old... \def\max{\mathop{\rm max}\nolimits} \def\min{\mathop{\rm min}\nolimits} %%%%%%% DERIVEES PARTIELLES %%%%%%%%% \newcommand\derp[2][x_j]{\frac{\partial #2}{\partial #1}} %%%%%%% INTERVALLE ENTIERS %%%%%%%%% \let\ceo=\crochetentierouvrant \let\cef=\crochetentierfermant %%%%%%% ABREVIATIONS COURANTES %%%%%%%%% % \def\ssi{}\renewcommand{\ssi}[1][,]{si, et seulement si#1} % \def\ssil{si, et seulement s'il} % \def\cad{c'est-\`a-dire} % \def\ie{\textit{i.e.}} % \def\qq{quelque} % \def\qcq{quelconque} % %%%%%%% ALGEBRE LINEAIRE %%%%%%%%% % \def\SEP{sous-espace propre} % \def\SEPS{sous-espaces propres} % \def\vp{valeur propre} % \def\vps{valeurs propres} % \def\VP{vecteur propre} % \def\VPS{vecteurs propres} % % \def\AL{application lin\'eaire} % \def\ALS{applications lin\'eaires} % \def\CL{combinaison lin\'eaire} % \def\CLS{combinaisons lin\'eaires} % \def\EV{espace vectoriel} % \def\EVS{espaces vectoriels} % \def\SEV{sous-\EV} % \def\SEVS{sous-\EVS} % \def\DF{dimension finie} \def\vi{\vec\imath} \def\vj{\vec\jmath} \def\vk{\vec k} \newcommand{\pM}[3]{#1\big|{#2\atop#3}} \newcommand{\pv}[3]{\vec{#1}\big|{#2\atop#3}} %%% EVN, EUCLIDIENS %%%%%% \let\ch=\cosh \let\sh=\sinh \let\th=\tanh \def\argcosh{\mathop{\rm argcosh}\nolimits} \def\argsinh{\mathop{\rm argsinh}\nolimits} \def\argtanh{\mathop{\rm argtanh}\nolimits} \def\d{\mathinner{\rm d}\mathclose{}} %%%%%%% PROBABILITES %%%%%%%%% \def\Prob{{\mathbb P}} \def\Esp{{\mathbb E}} \def\Var{{\mathbb V}} \newcommand{\Cov}{\textrm{Cov}} \newcommand{\cov}{\textrm{Cov}} \let\oldbigcup=\bigcup \def\bigcup{\oldbigcup\limits} %\let\oldlim=\lim %\def\lim{\oldlim\limits} \let\oldbigcap=\bigcap \def\bigcap{\oldbigcap\limits} \let\oldsum=\sum \def\sum{\oldsum\limits} \let\oldprod=\prod \def\prod{\oldprod\limits} \let\oldcoprod=\coprod \def\coprod{\oldcoprod\limits} %\let\oldsup=\sup %\def\sup{\oldsup\limits} %\let\oldinf=\inf %\def\inf{\oldinf\limits} \let\oldlimsup=\limsup \def\limsup{\oldlimsup\limits} \let\oldliminf=\liminf \def\liminf{\oldliminf\limits} \let\oldmax=\max \def\max{\oldmax\limits} \let\oldmin=\min \def\min{\oldmin\limits} \let\oldbigotimes=\bigotimes \def\bigotimes{\oldbigotimes\limits} \let\oldbigoplus=\bigoplus \def\bigoplus{\oldbigoplus\limits} \let\oldbigsqcup=\bigsqcup \def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits} \let\oldbigsqcap=\bigsqcap \def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits} \let\oldint=\int \def\int{\displaystyle\oldint} \)

Feuille 3

Exercice Résoudre l'équation $\sin x+\sin 7\,x=\sin 4\,x.$ [Indication]

Vous avez imaginé ce que l'on obtient si l'on factorise le membre de gauche ? [Indication]

Exercice Déterminer un réel $a$ tel que, pour tout $x\in\R$ :

$\hskip 5ex \ds \sin 4x = a\,\sin x\,\sin \Big(x+\frac{\pi }{4}\Big)\, \sin \Big(x+\frac{\pi }{2}\Big) \,\sin \Big(x+\frac{3\,\pi }{4}\Big)\cdot \hskip 5ex$ [Indication]

Exercice Déterminer la valeur exacte de $\ds \cos \Big(\frac{\pi }{16}\Big)\cdot$ [Indication]

Penser à $\ds 2\times 2\times \Big(\frac{\pi }{16}\Big)\,=\,?$

Ici, la réponse contient des radicaux imbriqués. [Indication]

Solution

En utilisant la relation : \[ 2\,\cos ^{2}\Big(\frac{a}{2}\Big)=1+\cos a \] avec $a=\frac{\pi }{4}$ on obtient : \[ \cos ^{2}\Big(\frac{\pi }{8}\Big) =\frac{1}{2}\bigg( 1+\frac{\sqrt{2}}{2}\,\bigg)\cdot \] Comme $\frac{\pi}{8}\in\mathopen{\big[}0,\frac{\pi}{2}\mathclose{\big]}$ et donc $\cos \big(\frac{\pi }{8}\big) \geq 0$, on en déduit : \[ \cos \Big(\frac{\pi }{8}\Big)=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \] On a de même : \begin{align*} \cos ^{2}\Big(\frac{\pi }{16}\Big) &=\frac{1}{2}\left( 1+\cos \frac{\pi }{8}\right) =\frac{1}{2}\left( 1+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right) \end{align*} et donc : \[ \cos \Big(\frac{\pi }{16}\Big) =\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot \] Pourrait-on vérifier ce résultat à l'aide d'une calculatrice ? [Indication]

Exercice Résoudre l'équation : $\sqrt{x+1}=3\,x-7$. [Indication]

On a évidemment envie d'élever au carré pour « faire disparaître la racine » mais il faut prendre quelques précautions.

Il y a essentiellement deux rédaction possibles.

Mais avant tout, $\ldots$
$\ldots$ il faut parler du domaine de définition de l'équation.
Pour pouvoir écrire la relation : \[ \sqrt{x+1}=3\,x-7, \] on a besoin d'avoir $x+1 \geq 0$. Le domaine est donc $\mathopen{[}-1,+\infty \mathclose{[}$.

Remarque : La condition $3\,x-7 \geq 0$ ne limite pas le domaine de définition. En effet, on peut, par exemple, écrire la relation : \[ \sqrt{x+1}=3\,x-7 \] pour $x=0$, même si elle est évidemment fausse.
On peut travailler à chaque étape par équivalence.
L'équation donnée est équivalente au système : \[ \left\{ \begin{array}{cc} x+1= (3\,x-7)^{2}\quad & (i) \\ \\ 3\,x-7\geq 0 &(ii) \end{array} \right. \] Comment le justifier si vous avez un doute ?
Tout simplement par double implication.
- Si $x$ vérifie : \[ \sqrt{x+1}=3\,x-7, \] alors :
  
  on a $3\,x-7\geq 0$ car $\sqrt{x+1}$ est positif ;
  
  comme les carrés de deux nombres égaux sont égaux, on a : \[ x+1= (3\,x-7)^{2}. \] Donc toute solution de l'équation vérifie le système.
- Réciproquement supposons que $x$ vérifie : \[ x+1= (3\,x-7)^{2} \et 3\,x-7\geq 0. \] Alors :
  
  l'égalité $x+1 = (3\,x-7)^{2}$ entraîne $x+1 \geq 0$ ;
  
  cette même égalité nous donne : \[ 3\,x-7= \pm\sqrt{x+1}. \] Comme on a aussi supposé $3\,x-7\geq 0$, on a donc : \[ \sqrt{x+1}=3\,x-7. \]
  
  Ainsi, tout $x$ vérifiant le système est aussi solution de l'équation donnée.
On a bien prouvé l'équivalence attendue.
Si l'équivalence précédente vous perturbe ou vous angoisse quelque peu, nous verrons ci-dessous une autre méthode de rédaction qui évite de l'utiliser directement.
Solution
Résolvons, sur son domaine de définition $\mathopen{[}-1,+\infty \mathclose{[}$, l'équation : \[ \sqrt{x+1}=3\,x-7. \] Par élévation au carré, elle est équivalente au système : \[ \left\{ \begin{array}{cc} x+1= (3\,x-7)^{2}\quad & (i) \\ \\ 3\,x-7\geq 0 &(ii) \end{array} \right. \] L'équation $(i)$, qui s'écrit aussi : \[ 9\,x^{2}-43\,x+48=0 \] a deux solutions qui sont : \[ x=3 \et x=\frac{16}{9} ; \] mais seule la première vérifie $3\,x-7\geq 0$.

Par suite, l'équation donnée possède une unique solution qui est $3$.
On peut aussi commencer par raisonner par implications.
Une autre façon de rédiger la solution est de commencer par supposer qu'un réel $x \geq -1$ est solution de l'équation donnée et donc que la relation : \[ \sqrt{x+1}=3\,x-7 \] est une égalité, puis d'en déduire tout ce que l'on peut $\ldots$
Là, je pense qu'il y a beaucoup moins d'angoisse. En effet, il est évident que :
- si deux réels sont égaux, alors leurs carrés sont égaux ;
- si un réel est égal à $\sqrt{x+1}$, alors il est positif.
On en déduit « quelques valeurs possibles » de $x$.

Évidemment, ensuite, $\ldots$
$\ldots$ il faut alors vérifier si ces valeurs trouvées sont, ou non, solutions de l'équation donnée.
Solution
- Soit $x\in\mathopen{[}-1,+\infty \mathclose{[}$, solution de l'équation donnée.
  
  On a alors l'égalité : \[ \sqrt{x+1}=3\,x-7\tag{$*$} \]
  - Comme $\sqrt{x+1} \geq 0$, on a donc $3\,x-7 \geq 0$.
  - Par élévation au carré, l'égalité $(*)$ nous donne : \[ x+1= (3\,x-7)^{2} \] et donc : \[ 9\,x^{2}-43\,x+48=0, \] ce qui entraîne : \[ x=3 \ou x=\frac{16}{9}\cdot \]
  On en déduit $x=3$, seule valeur vérifiant $3\,x-7 \geq 0$.
- Réciproquement, on vérifie aisément que $x=3$ est solution de l'équation donnée puisque : \[ \sqrt{3+1}= 2 = 3\times 3-7. \]
Par suite, l'équation donnée possède une unique solution qui est $3$.

Une dernière remarque sur le domaine de définition. [Indication]

Exercice Étant donné $a\in\R$, étudier les variations de $f$ définie par :

$\ds \hskip5ex f(x)=\frac{\cos x+\cos (x+2a)}{\cos (x+a)}\cdot \hskip5ex $ [Indication]

Exercice Déterminer $\ds \lim\limits_{x\rightarrow 3}\,\frac{x-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x}}\cdot $ [Indication]

La première chose à faire est $\ldots$
$\ldots$ de vérifier que l'on peut bien parler de cette limite en $3$.
Il faut donc vérifier que l'on peut définir la fonction : \[ f: x \mapsto \frac{x-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x}} \] « du côté de $3$ » : on dit « au voisinage de $3$ ».
Pour pouvoir définir $f(x)$, on a besoin
- d'avoir $x -2 \geq 0$ ;
  Car ce qui est sous une racine (on dit aussi « sous un radical ») doit être positif.
- d'avoir $4-x \geq 0$ ;
  Car ce qui est sous une racine (on dit aussi « sous un radical ») doit être positif.
- enfin d'avoir $\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x} \neq 0$ ;
  Car un dénominateur ne peut pas s'annuler.
Domaine de définition
Les conditions : \[ x -2 \geq 0 \et 4-x \geq 0 \] imposent $x\in\mathopen{[}2,4\mathclose{]}$. Sur cet intervalle, le seul $x\in\R$ tel que : \[ \sqrt{x-2}=\sqrt{4-x} \] est $x=3$
En effet, si les réels : \[ \sqrt{x-2} \et \sqrt{4-x} \] sont égaux, alors leurs carrés sont égaux et l'on a : \[ x-2 = 4 - x \et[ce qui entraîne] x=3. \]

Par suite $f$ est définie sur $\mathopen{[}2,3\mathclose{[}\cup\mathopen{]}3,4\mathclose{]}$.
A priori, il s'agit de la limite d'un quotient.
Mais, (mal)heureusement, lorsque $x$ tend vers $3$, numérateur et dénominateur tendent vers $0$ ; on ne peut donc pas appliquer le théorème sur les quotients de limites.

Il faut travailler un peu.
Le dénominateur est une différence de deux radicaux ; d'où l'idée de penser à $\ldots$
$\ldots$ la quantité conjuguée.

Solution
La fonction : \[ f: x \mapsto \frac{x-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x}} \] est définie sur $X=\mathopen{[}2,3\mathclose{[}\cup\mathopen{]}3,4\mathclose{]}$ et, pour tout $x\in X$, on a : \begin{align*} f(x) & =\frac{\left( x-3\right) \left( \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\,\right) }{2\,x-6} \\ \\ &= \frac{\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}}{2}\cdot \end{align*} D'après les théorèmes généraux sur les limites, on en déduit : \[ \lim\limits\limits_{x\rightarrow 3}f(x)=1. \]

Exercice Soit $m$ un paramètre réel.

Résoudre dans $\C$ l'équation :
$\hskip5ex (z-i) ^{4}+m^{2}\,(z^{2}+1)^{2}=0.\hskip5ex $
Tout développer n'est certainement pas la meilleure chose à faire.
En effet, pour résoudre une telle équation, on a plutôt intérêt à factoriser.
Or, ici, il y a manifestement en facteur :
\[ (z-i)^{2}. \]

Il reste alors à résoudre $\ldots$
$\ldots$ une équation du second degré, mais $\ldots$
$\ldots$ si vous vous y prenez bien, il n'y a quasiment pas de calcul à faire.
En effet, dans $\C$, la relation : $$A^2+B^2=0,$$ s'écrit aussi : $$(A-i\,B)\,(A+i\,B)=0 ;$$ par suite, elle est équivalente à : \[ A= i\,B \ou A= -i\,B. \]

Solution
Pour tout $z\in\C$, nous avons : \begin{align*} ( z-i) ^{4}+m^{2}\,(z^{2}+1)^{2} &=( z-i)^{4}+m^{2}\,(z+i)^{2}(z-i)^{2} \\ \\ &=(z-i)^{2}\,\big( ( z-i) ^{2}+m^{2}\,(z+i)^{2}\big). \end{align*} Par suite, $z$ est solution de l'équation donnée si, et seulement si : \[ ( z-i) ^{2}=0 \ou ( z-i) ^{2}+m^{2}\,(z+i)^{2}=0 \]
- La première équation $\left( z-i\right) ^{2}=0$ a pour seule solution $z=i$.
- La seconde équation : $$\left( z-i\right) ^{2}+m^{2}\,(z+i)^{2}=0$$ est équivalente à : \[ ( z-i) +\varepsilon \,i\,m\,\,(z+i)=0 \avec \varepsilon =\pm 1, \] ou encore à : \[ z(1+\varepsilon \,i\,m)=i+\varepsilon \,m, \] ce qui donne comme solutions : \[ z=\frac{i+\varepsilon \,m}{1+\varepsilon \,i\,m} \avec \varepsilon =\pm 1. \] Ne faudrait-il pas discuter sur le dénominateur ?
  Ici, le dénominateur $1+\varepsilon \,i\,m$ est évidemment non nul car on a supposé $m\in\R$, donc $\ldots$
  Comme $m\in\R$, le complexe $1+\varepsilon \,i\,m$ admet $1$ comme partie réelle ; il est donc non nul.
  
  Avec l'hypothèse $m\in\C$, il aurait fallu discuter.
En préciser le nombre de solutions.
A priori, on a trouvé trois solutions : \[ z_0 = i\,\, ,\quad z_1=\frac{i + m}{1+i\,m} \et z_2=\frac{i - m}{1-i\,m}\cdot \] Sont-elles distinctes ?
- Non, si $m=0$.
  Si $m=0$, il est immédiat que $z_0=z_1=z_2=i$.
  
  L'équation n'a donc qu'une solution.
- Oui, si $m\neq0$.
  Supposons $m\neq0$. Alors : \begin{align*} \frac{i+\varepsilon \,m}{1+\varepsilon \,i\,m} &=\frac{(i+\varepsilon \,m)(1-\varepsilon \,i\,m)}{1+m^{2}}\\ &=\frac{i(1-m^{2})+2\,\varepsilon \,m}{1+m^{2}} \end{align*} et donc $\Re z_1 = -\Re z_2 \neq 0$.
  
  Par suite, $i$, $z_1$ et $z_2$ sont alors deux à deux distincts.
  
  L'équation a donc $3$ solutions.