Exercice

\( \def\R{{\sf I\kern -.1em\sf R}} \def\N{{\sf I\kern -.1em\sf N}} \def\K{{\sf I\kern -.1em\sf K}} \def\Z{{\sf Z\kern -.4em \sf Z}} \def\B{{\sf I\kern -.1em \sf B}} \newcommand{\C}{{\sf \,\,I\!\!\!\sf C}} \newcommand{\Q}{{\sf \,\,I\!\!\!\sf Q}} \let\leq=\leqslant \let\geq=\geqslant \let\ge=\geq \let\le=\leq \def\vect#1{\overrightarrow{#1}} \def\crochetentierouvrant{\mathopen{[\![}} \def\crochetentierfermant{\mathclose{]\!]}} \newcommand{\Et}[1][et]{\qquad\mbox{#1}\qquad} % Dans les formules \newcommand{\Ou}{\Et[ou]} % displayes \newcommand{\Avec}{\Et[avec]} % \newcommand{\et}[1][et]{\quad\mbox{#1}\quad} % Dans les formules \newcommand{\ou}{\et[ou]} % displayes \newcommand{\avec}{\et[avec]} % \newcommand\res[1]{\fbox{#1}} \let\oldphi=\phi \renewcommand{\phi}{\varphi} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \let\epsilon=\eps \newcommand{\fonction}[5][rcl] {\begin{array}[t]{#1} #2& \longrightarrow& #3\\ #4& \longmapsto& #5\end{array}} \newcommand{\matrice}[2]{\left(\begin{array}{#1}#2\\\end{array}\right)} \newcommand{\determ}[2]{\left|\begin{array}{#1}#2\\\end{array}\right|} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \def\restr#1{_{|_{#1}}} \def\O{{\rm{O}}} \def\o{{\rm{o}}} \def\To_#1{\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{#1}}} \def\diff{\textrm d} \newcommand{\motreserve}[2]{ \def#1{\mathop{\rm #2}\nolimits}} \def\card{\Card} \def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits} \def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits} \def\th{\mathop{\rm th}\nolimits} \def\tg{\mathop{\rm tan}\nolimits} \def\cotg{\mathop{\rm cotan}\nolimits} \let\cotan=\cotg \def\argch{\mathop{\rm argch}\nolimits} \def\argsh{\mathop{\rm argsh}\nolimits} \def\arcsin{\mathop{\rm arcsin}\nolimits} \def\arccos{\mathop{\rm arccos}\nolimits} \def\argth{\mathop{\rm argth}\nolimits} \def\arctg{\mathop{\rm arctan}\nolimits} \let\arctan=\arctg \def\Arg{\mathop{\rm Arg}\nolimits} \def\Id{\mathop{\rm Id}\nolimits} \def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits} \let\ker=\Ker \def\det{\mathop{\rm det}\nolimits} \def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits} \def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\rg{\mathop{\rm rg}\nolimits} \def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits} \let\tr=\Tr \def\Mat{\mathop{\rm Mat}\nolimits} \def\Diag{\mathop{\rm Diag}\nolimits} \def\Vect{\mathop{\rm Vect}\nolimits} \def\Card{\mathop{\rm card}\nolimits\,} \def\grad{\mathop{\vect{{\rm grad}}}\nolimits} \def\divergence{\mathop{\rm div}\nolimits} \def\rot{\mathop{\rm rot}\nolimits} \let\emptyset=\varnothing %%%%%%% ALGEBRE LINEAIRE %%%%%%%%% \def\lin{{\mathcal L}} \newcommand\Mn[1][n]{\mathcal{M}_{#1}} \def\GL{{\mathcal{GL}}} \def\GA{{\mathcal{GA}}} \newcommand\GLn[1][n]{\mathcal{GL}_{#1}} \def\SO{{\mathcal{SO}}} \newcommand\SOn[1][n]{\mathcal{S\mskip-0.3\thinmuskip O}_{#1}} \def\OO{{\mathcal O}} \newcommand\OOn[1][n]{\mathcal{O}_{#1}} \def\SL{{\mathcal{SL}}} \newcommand\SLn[1][n]{\mathcal{SL}_{#1}} \def\BL{{\mathcal{BL}}} \newcommand\Sn[1][n]{\mathcal{S}_{#1}} \newcommand\An[1][n]{\mathcal{A}_{#1}} \motreserve{\Hom}{Hom} 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\def\ps#1#2{\mathopen{\mbox{(}}\,#1\mathrel{|}#2\,\mathclose{\mbox{)}}} \def\Ps#1#2{\bigl(#1\bigm|#2\,\bigr)} \def\PS#1#2{% \left(\,#1\vphantom{#2}\,\right|\left.\vphantom{#1}#2\,\right)} %%%%%%% ENSEMBLES DE FONCTIONS %%%%%%%%% \def\FF{{\mathcal F}} % ensemble des fonctions \def\CC{{\mathcal C}} % fonctions continues ou de classe C^k \newcommand\CM[1][]{{\mathcal C}^{#1}\!{\mathcal M}} % fonctions continues ou de classe C^k par morceaux \def\LL{{\mathcal L}} % fonctions intgrables \def\PP{{\mathcal P}} \def\tq{\mid} \def\Tq{\bigm|} \def\tq{\mid} \def\Tq{\bigm|} \def\pour{\,;\;} %\def\un{\mathbb{1}} \def\un{{ 1\kern -.35em 1}} %%% Problème avec \max ET \min qui donnent old... \def\max{\mathop{\rm max}\nolimits} \def\min{\mathop{\rm min}\nolimits} %%%%%%% DERIVEES PARTIELLES %%%%%%%%% \newcommand\derp[2][x_j]{\frac{\partial #2}{\partial #1}} %%%%%%% INTERVALLE ENTIERS %%%%%%%%% \let\ceo=\crochetentierouvrant \let\cef=\crochetentierfermant %%%%%%% ABREVIATIONS COURANTES %%%%%%%%% % \def\ssi{}\renewcommand{\ssi}[1][,]{si, et seulement si#1} % \def\ssil{si, et seulement s'il} % \def\cad{c'est-\`a-dire} % \def\ie{\textit{i.e.}} % \def\qq{quelque} % \def\qcq{quelconque} % %%%%%%% ALGEBRE LINEAIRE %%%%%%%%% % \def\SEP{sous-espace propre} % \def\SEPS{sous-espaces propres} % \def\vp{valeur propre} % \def\vps{valeurs propres} % \def\VP{vecteur propre} % \def\VPS{vecteurs propres} % % \def\AL{application lin\'eaire} % \def\ALS{applications lin\'eaires} % \def\CL{combinaison lin\'eaire} % \def\CLS{combinaisons lin\'eaires} % \def\EV{espace vectoriel} % \def\EVS{espaces vectoriels} % \def\SEV{sous-\EV} % \def\SEVS{sous-\EVS} % \def\DF{dimension finie} \def\vi{\vec\imath} \def\vj{\vec\jmath} \def\vk{\vec k} \newcommand{\pM}[3]{#1\big|{#2\atop#3}} \newcommand{\pv}[3]{\vec{#1}\big|{#2\atop#3}} %%% EVN, EUCLIDIENS %%%%%% \let\ch=\cosh \let\sh=\sinh \let\th=\tanh \def\argcosh{\mathop{\rm argcosh}\nolimits} \def\argsinh{\mathop{\rm argsinh}\nolimits} \def\argtanh{\mathop{\rm argtanh}\nolimits} \def\d{\mathinner{\rm d}\mathclose{}} %%%%%%% PROBABILITES %%%%%%%%% \def\Prob{{\mathbb P}} \def\Esp{{\mathbb E}} \def\Var{{\mathbb V}} \newcommand{\Cov}{\textrm{Cov}} \newcommand{\cov}{\textrm{Cov}} \let\oldbigcup=\bigcup \def\bigcup{\oldbigcup\limits} %\let\oldlim=\lim %\def\lim{\oldlim\limits} \let\oldbigcap=\bigcap \def\bigcap{\oldbigcap\limits} \let\oldsum=\sum \def\sum{\oldsum\limits} \let\oldprod=\prod \def\prod{\oldprod\limits} \let\oldcoprod=\coprod \def\coprod{\oldcoprod\limits} %\let\oldsup=\sup %\def\sup{\oldsup\limits} %\let\oldinf=\inf %\def\inf{\oldinf\limits} \let\oldlimsup=\limsup \def\limsup{\oldlimsup\limits} \let\oldliminf=\liminf \def\liminf{\oldliminf\limits} \let\oldmax=\max \def\max{\oldmax\limits} \let\oldmin=\min \def\min{\oldmin\limits} \let\oldbigotimes=\bigotimes \def\bigotimes{\oldbigotimes\limits} \let\oldbigoplus=\bigoplus \def\bigoplus{\oldbigoplus\limits} \let\oldbigsqcup=\bigsqcup \def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits} \let\oldbigsqcap=\bigsqcap \def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits} \let\oldint=\int \def\int{\displaystyle\oldint} \)

Feuille 2

Exercice Déterminer la valeur exacte de $\ds \cos \frac{\pi}{12}\cdot$
(L'exprimer sans radicaux imbriqués.) [Indication]

On peut envisager deux méthodes.

Un méthode assez générale utilisant $\ds 2\times\frac{\pi }{12}=\cdots $
La relation entre $\cos x$ et $\cos \big(\frac{x}{2}\big)$ est ensuite bien utile.
Il s'agit d'utiliser une relation du type : \[ 1 \pm \cos x = \cdots \] Si vous hésitez sur le résultat, commencez par essayer de le retrouver comme si vous étiez en DS mais, en cas de doute persistant (ou pour confirmation), voir chapitre de trigonométrie (III.4 Duplication et arc moitié).

Le résultat obtenu fait intervenir : \[ \sqrt{2+\sqrt{3}}. \] Comme l'énoncé demande de ne pas utiliser de tels radicaux imbriqués, on doit pouvoir « dénicher » un carré sous le radical le plus externe.
Multiplier par $2$ sous le radical.
Et ne pas oublier que $4 = 3+1$ !

Solution
En utilisant la relation : $$\cos ^{2}\Big(\frac{x}{2}\Big)=\frac{1}{2}( 1+\cos x)$$ avec $x=\frac{\pi }{6}$, on obtient : \[ \cos ^{2}\Big(\frac{\pi }{12}\Big)=\frac{1}{2}\,\bigg( 1+\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg)\cdot \] Comme $\frac{\pi }{12}\in\mathopen{\big[}0,\frac{\pi}{2}\mathclose{\big]}$, on a $\cos(\frac{\pi }{12})\geq 0$ et donc : \begin{align*} \cos \Big(\frac{\pi }{12} \Big) &=\frac{1}{2}\,\sqrt{2+\sqrt{3}} \\ \\ &=\frac{1}{2\,\sqrt{2}}\sqrt{4+2\sqrt{3}}\\ \\ &=\frac{1}{2\,\sqrt{2}}\big( \sqrt{3}+1\big)\cdot \end{align*}
Un méthode plus astucieuse utilisant $\ds \frac{\pi}{12}=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\cdot $
Il suffit alors de développer : \[ \cos(a-b) = \cdots \] puis d'utiliser les valeurs de sinus et cosinus en $\frac{\pi }{3}$ et $\frac{\pi }{4}\cdot$

Si vous hésitez sur le résultat, commencez par essayer de les retrouver comme si vous étiez en DS mais, en cas de doute persistant (ou pour confirmation), reportez-vous au chapitre de trigonométrie :

pour $\cos(a-b) $, voir III.1 Développement de $\cos(\theta\pm\phi)$ ;

pour les valeurs remarquables, voir la partie II.3.a.
Solution
On a : \begin{align*} \cos \Big(\frac{\pi }{12}\Big) &=\cos \left( \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)\\ \\ &=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ &=\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\big( 1+\sqrt{3}\,\big) \cdot \end{align*}

Exercice Si $x\in \mathopen[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\mathclose]$ vérifie $\cos x=\frac{1}{3}$ que vaut $\tan x$ ? [Indication]

La réponse doit être numérique et ne faire intervenir aucune fonction trigonométrique.

Il faut commencer par s'assurer que $\tan x$ existe.
Comme l'énoncé suppose $\mathopen{[}-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\mathopen{]}$, il faut s'assurer que l'on a : \[ x \neq \pm \frac{\pi }{2}. \] Et c'est évident car $\ldots$
Comme $\cos x=\frac{1}{3}\neq 0$, on a : $$x \neq \pm \frac{\pi }{2}$$ et $\tan x$ est donc bien défini.
Partir de la relation classique entre $\tan x$ et $\cos x$.
Si vous l'avez oubliée, voir ici
Cette relation provient de la relation fondamentale.
Partant de : \[ \cos^2 x +\sin^2 x = 1 \] il suffit de $\ldots$
diviser par $\cos^2 x$.
Mais il y a un problème de signe.
Car la relation donne seulement $\tan^2 x$ et donc $\tan x = \pm \cdots$.

Comment choisir le signe ?
Ici, il est impossible de choisir le signe car, avec l'hypothèse donné, le réel $\tan x$ peut être aussi bien positif que négatif.

Comment en être convaincu ?
- Il existe une valeur $x_0\in\mathopen{]}0,\frac{\pi }{2}\mathopen{[}$ telle que $\cos x_0=\frac{1}{3}$ et alors on a $\tan x_0>0$.
- Mais le réel $x_1=-x_0$ est alors un élément de $\mathopen{]}-\frac{\pi }{2},0\mathopen{[}$ vérifiant aussi $\cos x_1=\frac{1}{3}$ et $\tan x_1 <0$.

Solution

Pour la définition de $\tan$ voir éventuellement le chapitre de trigonométrie : partie II.2 Sinus, cosinus (et tangente)

Exercice
Résoudre l'équation $\cos 2x+\cos 12\,x=\sqrt{3}\,\cos 5\,x.$ [Indication]

Vous avez imaginé ce que l'on obtient si l'on factorise le membre de gauche ? [Indication]

Solution

Exercice Soit $a$ un réel donné. Déterminer le maximum et le minimum de la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$\hskip5ex f(x)=\sin x+\sin (a-x).\hskip5ex$ [Indication]

Exercice Résoudre dans $\R$ l'inéquation :

$ \ds \bigg( x-\frac{2}{x}\bigg) ^{6}<1. $

En tout premier $\ldots$ [Indication]

Ensuite, ne pas vous laisser abuser par la puissance $6$. [Indication]

En fait, l'inéquation donnée est équivalente à : \[ \left(x-\frac{2}{x}\right) ^{2}<1. \] Comment justifier cela ? [Indication]

On peut alors penser à plusieurs méthodes.

Écrire l'inéquation avec une valeur absolue.
L'inéquation $\big(x-\frac{2}{x}\big) ^{2}<1$ peut s'écrire : \[ \left|\,x-\frac{2}{x}\,\right|<1. \] Que pensez-vous de cette méthode ?
Ce n'est pas très pratique d'introduire cette valeur absolue car nous allons alors être ramenés à la méthode de l'item suivant.
Transformer $u^2<1$ en une double inéquation.
L'inéquation $\big(x-\frac{2}{x}\big) ^{2}<1$ peut s'écrire : \[ -1 < x-\frac{2}{x} <1. \] Que pensez-vous de cette méthode ?
Ce n'est pas vraiment intéressant car nous devons alors résoudre deux inéquations au lieu d'une seule.
Tout ramener à gauche et factoriser.
L'inéquation $\left(x-\frac{2}{x}\right) ^{2}<1$ peut s'écrire : \[ \left(x-\frac{2}{x}\right) ^{2} -1<0 \] qui se factorise aisément.
C'est une différence de deux carrés.

Solution
Le domaine de définition de l'inéquation est $\R^{*}.$
Comme la fonction $u\mapsto u^{3}$ est strictement croissante, l'inéquation donnée est équivalente à : \[ \left( x-\frac{2}{x}\right) ^{2}<1\text{.} \tag{$*$} \] Or, pour tout $x\in\R^*$, nous avons : \begin{align*} \left( x-\frac{2}{x}\right) ^{2}-1 &=\left( x-\frac{2}{x}-1\right) \left(x-\frac{2}{x}+1\right) \\ \\ \\ \\ &=\frac{\left( x^{2}-x-2\right) \left( x^{2}+x-2\right) }{x^{2}} \end{align*} ainsi que : \[ x^{2}-x-2=\left( x+1\right) \,\left(x-2\right) , \] et : \[ x^{2}+x-2= \left( x-1\right) \,\left( x+2\right) . \] Si nécessaire voir ici pour les factorisations précédentes
Le premier trinôme : \[ x^{2}-x-2 \] possède $1$ comme racine évidente ; comme le produit des racines vaut $-2$, l'autre racine est $-2$ ; on en déduit la factorisation.

Pour le second, il suffit de changer $x$ en $-x$ dans le premier.

Éventuellement, voir le chapitre sur le trinôme du second degré (Parties I.3.b et I.3.c).

Par suite, l'inéquation donnée est équivalente à : \[ \left( x+2\right) \left( x+1\right) \left( x-1\right) \left( x-2\right) <0. \] Un tableau de signes donne alors comme ensemble solution : \[ S = \mathopen{]}-2,-1 \mathclose{[} \cup \mathopen{]} 1,2\mathclose{[}\,. \]
Commencer par multiplier par $x^2$.
On obtient un calcul un peu plus simple car ne faisant intervenir que des puissances paires de $x^2$.

Solution
Le domaine de définition de l'inéquation est $\R^{*}.$
Comme la fonction $u\mapsto u^{3}$ est strictement croissante, l'inéquation donnée est équivalente à : \[ \left( x-\frac{2}{x}\right) ^{2}<1\text{.} \tag{$*$} \] En multipliant par $x^{2}$ qui est strictement positif, l'inéquation $(*)$ est équivalente à : \[ (x^{2}-2)^{2} < x^{2}. \] Comme : \begin{align*} (x^{2}-2)^{2} - x^{2} &=x^{4}-5\,x^{2}+4 \\ \\ &= ( x^{2}-1)\, (x^{2}-4), \end{align*} l'inéquation donnée équivaut a : \[ ( x^{2}-1)\, (x^{2}-4) < 0 \] dont les solutions sont les réels $x$ vérifiant : \[ 1 < x^{2} < 4. \] Si nécessaire voir ici pour ce dernier résultat
Le trinôme : \[ (u-1)\,(u-4) \] possède $1$ et $4$ comme racines avec un coefficient de $u^2$ égal à $+1$ ; par suite, on a $(u-1)\,(u-4) < 0 $ si, et seulement si : \[ 1 < u < 4. \] Si nécessaire, voir le chapitre sur le trinôme du second degré (I.3.b Factorisation et signe du trinôme).

Par suite, l'ensemble solution de l'équation donnée est : \[ S = \mathopen{]}-2,-1 \mathclose{[} \cup \mathopen{]} 1,2\mathclose{[}\,. \]

Exercice Calculer la dérivée troisième de $f$ définie par :

$ f(x)=\ds \cos x\,\cos \Big(\frac{x}{2}\Big)\,\cos \Big(\frac{x}{4}\Big)\,\sin \Big(\frac{x}{4}\Big)\cdot $

Exercice Montrer que pour $x\in \mathopen{]}0,\frac{\pi }{6}\mathopen{[}$, on a :

$\ds \frac{1-\cos 2x+\cos 4\,x-\cos 6\,x}{\sin 2x-\sin 4\,x+\sin 6\,x}=\tan 3x.$

Il faut évidemment partir du membre de gauche, pour le simplifier et obtenir celui de droite.

Comme on veut obtenir : \[ \tan 3x \et[c'est-à-dire] \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \] Il serait bon de trouver un $\sin 3x$ au numérateur et un $\cos 3x$ au dénominateur, ce qui doit aider à mener le calcul. [Indication]

Solution complète [Réponse]

Pour la définition de $\tan$ voir éventuellement le chapitre de trigonométrie : partie II.2 Sinus, cosinus (et tangente)