Exercice

\( \def\R{{\sf I\kern -.1em\sf R}} \def\N{{\sf I\kern -.1em\sf N}} \def\K{{\sf I\kern -.1em\sf K}} \def\Z{{\sf Z\kern -.4em \sf Z}} \def\B{{\sf I\kern -.1em \sf B}} \newcommand{\C}{{\sf \,\,I\!\!\!\sf C}} \newcommand{\Q}{{\sf \,\,I\!\!\!\sf Q}} \let\leq=\leqslant \let\geq=\geqslant \let\ge=\geq \let\le=\leq \def\vect#1{\overrightarrow{#1}} \def\crochetentierouvrant{\mathopen{[\![}} \def\crochetentierfermant{\mathclose{]\!]}} \newcommand{\Et}[1][et]{\qquad\mbox{#1}\qquad} % Dans les formules \newcommand{\Ou}{\Et[ou]} % displayes \newcommand{\Avec}{\Et[avec]} % \newcommand{\et}[1][et]{\quad\mbox{#1}\quad} % Dans les formules \newcommand{\ou}{\et[ou]} % displayes \newcommand{\avec}{\et[avec]} % \newcommand\res[1]{\fbox{#1}} \let\oldphi=\phi \renewcommand{\phi}{\varphi} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \let\epsilon=\eps \newcommand{\fonction}[5][rcl] {\begin{array}[t]{#1} #2& \longrightarrow& #3\\ #4& \longmapsto& #5\end{array}} 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\def\ps#1#2{\mathopen{\mbox{(}}\,#1\mathrel{|}#2\,\mathclose{\mbox{)}}} \def\Ps#1#2{\bigl(#1\bigm|#2\,\bigr)} \def\PS#1#2{% \left(\,#1\vphantom{#2}\,\right|\left.\vphantom{#1}#2\,\right)} %%%%%%% ENSEMBLES DE FONCTIONS %%%%%%%%% \def\FF{{\mathcal F}} % ensemble des fonctions \def\CC{{\mathcal C}} % fonctions continues ou de classe C^k \newcommand\CM[1][]{{\mathcal C}^{#1}\!{\mathcal M}} % fonctions continues ou de classe C^k par morceaux \def\LL{{\mathcal L}} % fonctions intgrables \def\PP{{\mathcal P}} \def\tq{\mid} \def\Tq{\bigm|} \def\tq{\mid} \def\Tq{\bigm|} \def\pour{\,;\;} %\def\un{\mathbb{1}} \def\un{{ 1\kern -.35em 1}} %%% Problème avec \max ET \min qui donnent old... \def\max{\mathop{\rm max}\nolimits} \def\min{\mathop{\rm min}\nolimits} %%%%%%% DERIVEES PARTIELLES %%%%%%%%% \newcommand\derp[2][x_j]{\frac{\partial #2}{\partial #1}} %%%%%%% INTERVALLE ENTIERS %%%%%%%%% \let\ceo=\crochetentierouvrant \let\cef=\crochetentierfermant %%%%%%% ABREVIATIONS COURANTES %%%%%%%%% % \def\ssi{}\renewcommand{\ssi}[1][,]{si, et seulement si#1} % \def\ssil{si, et seulement s'il} % \def\cad{c'est-\`a-dire} % \def\ie{\textit{i.e.}} % \def\qq{quelque} % \def\qcq{quelconque} % %%%%%%% ALGEBRE LINEAIRE %%%%%%%%% % \def\SEP{sous-espace propre} % \def\SEPS{sous-espaces propres} % \def\vp{valeur propre} % \def\vps{valeurs propres} % \def\VP{vecteur propre} % \def\VPS{vecteurs propres} % % \def\AL{application lin\'eaire} % \def\ALS{applications lin\'eaires} % \def\CL{combinaison lin\'eaire} % \def\CLS{combinaisons lin\'eaires} % \def\EV{espace vectoriel} % \def\EVS{espaces vectoriels} % \def\SEV{sous-\EV} % \def\SEVS{sous-\EVS} % \def\DF{dimension finie} \def\vi{\vec\imath} \def\vj{\vec\jmath} \def\vk{\vec k} \newcommand{\pM}[3]{#1\big|{#2\atop#3}} \newcommand{\pv}[3]{\vec{#1}\big|{#2\atop#3}} %%% EVN, EUCLIDIENS %%%%%% \let\ch=\cosh \let\sh=\sinh \let\th=\tanh \def\argcosh{\mathop{\rm argcosh}\nolimits} \def\argsinh{\mathop{\rm argsinh}\nolimits} \def\argtanh{\mathop{\rm argtanh}\nolimits} \def\d{\mathinner{\rm d}\mathclose{}} %%%%%%% PROBABILITES %%%%%%%%% \def\Prob{{\mathbb P}} \def\Esp{{\mathbb E}} \def\Var{{\mathbb V}} \newcommand{\Cov}{\textrm{Cov}} \newcommand{\cov}{\textrm{Cov}} \let\oldbigcup=\bigcup \def\bigcup{\oldbigcup\limits} %\let\oldlim=\lim %\def\lim{\oldlim\limits} \let\oldbigcap=\bigcap \def\bigcap{\oldbigcap\limits} \let\oldsum=\sum \def\sum{\oldsum\limits} \let\oldprod=\prod \def\prod{\oldprod\limits} \let\oldcoprod=\coprod \def\coprod{\oldcoprod\limits} %\let\oldsup=\sup %\def\sup{\oldsup\limits} %\let\oldinf=\inf %\def\inf{\oldinf\limits} \let\oldlimsup=\limsup \def\limsup{\oldlimsup\limits} \let\oldliminf=\liminf \def\liminf{\oldliminf\limits} \let\oldmax=\max \def\max{\oldmax\limits} \let\oldmin=\min \def\min{\oldmin\limits} \let\oldbigotimes=\bigotimes \def\bigotimes{\oldbigotimes\limits} \let\oldbigoplus=\bigoplus \def\bigoplus{\oldbigoplus\limits} \let\oldbigsqcup=\bigsqcup \def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits} \let\oldbigsqcap=\bigsqcap \def\bigsqcap{\oldbigsqcap\limits} \let\oldint=\int \def\int{\displaystyle\oldint} \)

Feuille 1

Exercice Pour $a\in\mathopen{[}-\pi ,\pi \mathopen{]}$, exprimer $\cos\frac{a}{2}$ en fonction de $\cos a$. [Indication]

Exercice Résoudre l'équation : $\cos x-\cos 2x=\sin 3x$. [Indication]

Ne pas oublier que pour résoudre une équation, on a intérêt à factoriser (quand on peut évidemment). [Indication]

Pour le membre de gauche, utiliser $\ldots$
la formule de factorisation de :$$\cos a -\cos b .$$ Si vous hésitez sur les formules de factorisation, commencez par essayer de les retrouver comme si vous étiez en DS mais, en cas de doute persistant (ou pour confirmation), voir chapitre de trigonométrie (III.6 Formules de factorisation).
Pour le membre de droite, voir que $\ldots$
Comme : \[ \sin 3x = \sin \left(2\,\Big(\frac{3x}{2}\Big)\right)\cdot \] on peut utiliser la formule de factorisation de $\sin 2a$.

Commencez par essayer de la retrouver comme si vous étiez en DS mais si vous avez des doutes (ou pour confirmation), voir chapitre de trigonométrie (III.3 Duplication et arc moitié).
Ici, la factorisation est vraiment intéressante car $\ldots$
Des deux côtés, il va apparaître $\ldots$
\[ \sin \Big(\frac{3x}{2}\Big)\cdot \]

On pourra alors simplifier ce terme commun, non ?
Certainement pas !
- Si vous simplifiez, alors vous allez « perdre » les valeurs de $x$ vérifiant $\sin \big(\frac{3x}{2}\big)=0$ qui sont évidemment solutions de l'équation.
- Dans un tel cas, la bonne méthode est de « tout ramener à gauche », de factoriser, puis d'utiliser la condition pour qu'un produit soit nul.
Si vous avez des problèmes pour résoudre une équation du type $\cos a = \sin b$, voir ici.
Tout sinus est un cosinus qui s'ignore !
En effet, on a par exemple : \[ \sin b = \cos\Big(\frac{\pi}{2}-b\Big) \] et l'équation donnée s'écrit : \[ \cos a = \cos\Big(\frac{\pi}{2}-b\Big) \] que vous savez certainement résoudre.

Sinon, voir chapitre de trigonométrie
(II.5 Premières équations trigonométriques).
Comment vérifier les résultats trouvés à l'aide de votre calculatrice ?
Si vous disposez d'une calculatrice graphique, alors vous pouvez vérifier les solutions trouvées en lui faisant représenter le graphe de la fonction : \[ f : x \mapsto \cos x-\cos 2x - \sin 3x ; \] mais sur quel intervalle ?
Il suffit de travailler sur l'intervalle $\mathopen{[}0,2\pi\mathclose{]}$ ou sur $\mathopen{[}-\pi,\pi\mathclose{]}$.

Pourquoi est-ce suffisant ?
Il suffit de travailler sur un intervalle d'amplitude $2\pi$ (ou encore de longueur $2\pi$) car la fonction : \[ f : x \mapsto \cos x-\cos 2x - \sin 3x \] admet $2\pi$ comme période ; par suite, la connaissance des solutions de l'équation $f(x)=0$ sur un tel intervalle permet d'en déduire toutes les solutions sur $\R$.

Solution

Exercice Vérifier qu'il existe un réel $a$ tel que, pour tout $x\in\R$ :

$\ds \sin 3x = a\,\sin x\,\sin \Big(x+\frac{\pi }{3}\Big)\sin \Big(x+\frac{2\,\pi }{3}\Big)\cdot$

Exercice Si $x\in \mathopen{[}-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\mathopen{]}$ vérifie $\sin x=\frac{1}{5}$ que vaut $\tan x$ ? [Indication]

La réponse doit être numérique et ne faire intervenir aucune fonction trigonométrique.

Il faut commencer par s'assurer que $\tan x$ existe.
Comme l'énoncé suppose $\mathopen{[}-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\mathopen{]}$, il faut s'assurer que l'on a : \[ x \neq \pm \frac{\pi }{2}. \] Et, ici, c'est évident.
Comme $\sin x=\frac{1}{5}\neq \pm 1$, on a : $$x \neq \pm \frac{\pi }{2}$$ et $\tan x$ est donc bien défini.
Partir de la relation classique entre $\tan x$ et $\cos x$.
Si vous l'avez oubliée, voir ici
Cette relation provient de la relation fondamentale.
Partant de : \[ \cos^2 x +\sin^2 x = 1 \] il suffit de $\ldots$
diviser par $\cos^2 x$.
Mais il y a un problème de signe.
Car la relation donne seulement $\tan^2 x$ et donc $\tan x = \pm \cdots$.

Comment choisir le signe ?
Pour $x\in\mathopen{[}-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\mathopen{]}$, les quantités $\sin x$ et $\tan x$ sont de même signe.

Comment en être convaincu ?
- Cela se voit sur le cercle trigonométrique.
- Si l'on veut une justification, on peut écrire : \[ \forall{x\in\mathopen{]}-\tfrac{\pi }{2},\tfrac{\pi }{2}\mathopen{[}}\quad \sin x = \tan x \, \cos x \] ce qui justifie le résultat puisque : \[ \forall{x\in\mathopen{]}-\tfrac{\pi }{2},\tfrac{\pi }{2}\mathopen{[}}\quad \cos x >0. \]

Solution

Pour la définition de $\tan$ voir éventuellement le chapitre de trigonométrie : partie II.2 Sinus, cosinus (et tangente)

Exercice Résoudre l'équation : $\sin x=\sqrt{3}\,\cos x$. [Indication]

On peut résoudre cet exercice

soit en utilisant la fonction $\tan$ ;
D'abord diviser les deux membres par $\ldots$
$\ldots$ $\cos x$.

Évidemment après avoir $\ldots$
$\ldots$ vérifié qu'aucun $x$ tel que $\cos x=0$ n'est solution.

Pour la définition de $\tan$ voir éventuellement le chapitre de trigonométrie : partie II.2 Sinus, cosinus (et tangente)

Solution
- Supposons $x \equiv \frac{\pi }{2}\;|\pi]$ ou encore qu'il existe $k\in\Z$ tel que $x=\frac{\pi }{2}+k\,\pi$. Alors on a : \[ \cos x = 0 \et \sin x = \pm 1. \] Par suite, un tel $x$ ne peut être solution de l'équation donnée.
- On peut donc supposer $x \not\equiv \frac{\pi }{2}\;[\pi]$. Alors l'équation est équivalente à : \[ \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \] et donc à : \[ \tan x = \tan \Big( \frac{\pi}{3}\Big)\cdot \] Par suite, l'ensemble de ses solutions est : \[ S = \Big\{\frac{\pi }{3}+k\,\pi \pour k\in \Z\Big\}. \] On peut aussi conclure en disant que $x$ est solution de l'équation donnée si, et seulement si, $x\equiv\frac{\pi }{3}\;[\pi]$.
soit en utilisant une formule du type $\cos(a\pm b)$ ou $\sin(a\pm b)$.
Dans ce cas, il faut commencer par diviser l'équation par $2$ pour faire apparaître $\frac{1}{2}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ qui sont $\ldots$
$\ldots$ les cosinus et sinus de valeurs remarquables.
On a par exemple : \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3} \et \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3} \] On conclut aisément en utilisant la formule $\ldots$
\[ \sin(a-b) = \cdots \]

Solution
L'équation donnée est (par division par $2$) équivalente à : \[ \frac{\sqrt{3}}{2}\,\cos x -\frac{1}{2}\,\sin x = 0. \] Comme : \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3} \et \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3} \] elle s'écrit aussi : \[ \sin\Big(\frac{\pi}{3}-x\Big) = 0. \] Par suite, $x$ est solution de cette équation si, et seulement si : \[ \frac{\pi}{3}-x \equiv 0\;[\pi] \] ou encore : \[ x \equiv \frac{\pi}{3}\;[\pi]. \] Question subsidiaire : et si on avait utilisé : \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\ldots \et \frac{1}{2} = \sin\ldots ? \]
En utilisant \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{6} \et \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6} \] on peut aussi s'en sortir mais en utilisant $\ldots$
\[ \cos(a+b) \] Au fait, quels sont les $u\in\R$ tels que $\cos u = 0$ ?
On a : $\cos u = 0 \Leftrightarrow x \equiv \frac{\pi}{2}\,[\pi]$.

Solution
En utilisant : \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{6} \et \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6} \] l'équation donnée s'écrit : \[ \cos\Big(x+\frac{\pi}{6}\Big) = 0. \] Et $x$ en est solution si et seulement si : \[ x+\frac{\pi}{6} \equiv \frac{\pi}{2}\,[\pi] \] et donc : \[ x \equiv \frac{\pi}{3}\,[\pi]. \]

Exercice Déterminer la valeur exacte de $\ds\tan \Big(\frac{\pi}{8}\Big)\cdot$ [Indication]

Il y a une formule classique qui relie $\tan\big(\frac{t}{2}\big)$ et $\tan t$.
C'est un cas particulier de la formule donnant $\tan(a+b)$.

Commencez par essayer de la retrouver comme si vous étiez en DS mais, si vous avez des doutes (ou pour confirmation), voir chapitre de trigonométrie (III.4 Duplication et arc moitié).
Cela mène à une équation du second degré, qui nous donne deux possibilités. Comment choisir ?
Quel est le signe des racines de cette équation ?
Il est inutile de calculer les racines pour répondre.
On voit facilement les signes des racines en utilisant leur produit $\big(\frac{c}{a}$ avec les notations classiques du trinôme$\big)$.

Commencez par essayer de retrouver la propriété comme si vous étiez en DS mais, si vous avez des doutes (ou pour confirmation), voir chapitre sur le trinôme (I.5.a Signes de racines).

Quel est le signe de $\tan \frac{\pi}{8}$ ?
Comme $\frac{\pi}{8}\in\mathopen[0,\frac{\pi}{2},\mathclose[$, on a $\tan\big( \frac{\pi}{8}\big)>0$.
D'où vient cette autre racine que l'on a « laissé tomber » ?
Pour trouver la relation qui nous a permis de calculer $\tan\big( \frac{\pi }{8}\big)$, on a en fait exprimé que $u$ est la tangente d'un réel $x$ vérifiant : \[ \tan 2x = 1. \] Quels sont les réels $x$ vérifiant $\tan 2x = 1$ ?
Il s'agit ici de résoudre l'équation trigonométrique : \[ \tan 2x = 1 = \tan\Big(\frac{\pi}{4}\Big). \] Indication
Dans un tel cas, l'utilisation du cercle trigonométrique peut être d'un grand secours !

Si vous avez des doutes (ou pour confirmation), voir chapitre sur la trigonométrie (II.5.-Première équations trigonométriques).

Solution
Un réel $x$ vérifie : \[ \tan 2x = \tan\Big(\frac{\pi}{4}\Big) \] si, et seulement si : \[ 2\,x \equiv \frac{\pi}{4}\;\;[\pi] \et[ou encore] x \equiv \frac{\pi}{8}\;\big[\frac{\pi}{2}\big]\cdot \] Il y a alors deux valeurs correspondantes de $\tan x$ sont, d'une part : \[ \tan\Big(\frac{\pi}{8}\Big), \] et d'autre part : \[ \tan \left(\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{\tan \big(\frac{\pi}{8}\big)} \cdot \] D'où vient la dernière égalité ci-dessus ?
- Il y a des relations entre les tangentes d'arcs dont la différence vaut $\frac{\pi}{2}\cdot$ Si vous avez des doutes (ou pour confirmation), voir chapitre de sur la trigonométrie (VI.Formulaire muet).
- Ce résultat correspond aussi à une propriété des racines de l'équation du second degré : \[ u^{2}+2\,u-1=0 \] que l'on peut voir sans exprimer ces racines.
  Le produit de ces racines, qui vaut $\frac{c}{a}$ avec les notations classiques, est ici égal à $-1$.

Solution

Pour la définition de $\tan$ voir éventuellement le chapitre de trigonométrie : partie II.2 Sinus, cosinus (et tangente)

Exercice Déterminer les réels $x$ vérifiant :

$\hskip10ex | x+3| -| x-1| =| 2\,x+1|.\hskip5ex$ [Indication]

Le plus simple ici est de remplacer cette équation par une équation du type $f(x)=0$, où $f$ est la fonction $\ldots$
\[ f : \fonction{\R}{\R}{x}{| x+3| -| x-1|-| 2\,x+1|} \] puis $\ldots$
de simplifier l'expression de $f(x)$ par intervalles.
Ici, travailler sur les intervalles définis par les valeurs de $x$ qui annulent les quatre valeurs absolues, à savoir : $$-3, \quad 1 \et -\frac{1}{2}\cdot $$
Remarque : Pour éviter de vous compliquer la vie, voir que, lorsque l'on passe d'un intervalle à un autre qui lui est contigu, il y a un seul signe à changer.
Comment vérifier le résultat trouvé avec votre calculatrice ?
Il suffit de faire représenter graphiquement la fonction : \[ f : \fonction{\R}{\R}{x}{| x+3| -| x-1|-| 2\,x+1|} \]
Remarque :
- Une telle représentation, qui peut être considérée comme l'équivalent graphique d'un tableau de variations, permet la plupart du temps d'avoir une vision correcte de l'ensemble des solutions d'une équation, et il ne faut pas s'en priver.
- En revanche, il faut bien garder à l'esprit que cela ne peut, en aucun cas, être considéré comme une démonstration.

Solution