Commencer par développer $(1+i\,x)^{2n}$ et $(1-i\,x)^{2n}$ et regarder !
La formule du binôme donne :
\[
( 1+i\,x)^{2n}=\sum_{p=0}^{2\,n}\,\binom{2n}{p}
\,(i\,x)^{p}
\]
ainsi que :
\[
( 1-i\,x)^{2n}=\sum_{p=0}^{2\,n}\,\binom{2n}{p}
\,(-i\,x)^{p}.
\]
En sommant on obtient :
\[
(1+i\,x)^{2n}+( 1-i\,x)^{2n}
=\sum_{p=0}^{2\,n} \big(1+( -1)^{p}\big) \,\binom{2n}{p}\,(i\,x)^{p}.
\]
Étant donné que :
-
si $p$ est impair, alors $\big( 1+(-1)^{p}\big)=0$,
- si $p$ est pair, alors $\big( 1+(-1)^{p}\big)=2$,
on a aussi :
\[
( 1+i\,x)^{2n}+( 1-i\,x)^{2n}
=\sum_{p= 0\atop p \text{ pair}}^{2n}2\,\binom{2n}{p}\,(i\,x)^{p}.
\]
Comme $p$ ne prend que des valeurs paires, on pose $p=2k$
avec donc $k$ variant de $0$ Ã $n$, ce qui donne :
\begin{align*}
( 1+i\,x)^{2n}+( 1-i\,x)^{2n}
&=2\,\sum_{k= 0}^{n}\binom{2n}{2k}\,(i\,x)^{2k}\\
&=2\, \sum_{k= 0}^{n} (-1)^k\,\binom{2n}{2k}\,x^{2k}.
\end{align*}
On en déduit :
\[
S_n(x)=\frac{1}{2}\Big(( 1+i\,x)^{2n}+(1-i\,x)^{2n}\Big).
\]