Dans un premier temps, il n'y a pas grand chose Ă faire.
Vous avez remarquĂ© le « puis » ?
Pour justifier l'existence de $Q$ sans l'expliciter,
il suffit de calculer $\ldots$
$\ldots P(1)-1$
Solution
Étant donné que $P$ est une fonction polynomiale et que :
\[
P(1) = 16 -20 +5 = 1 \et[et donc] P(1)-1=0
\]
on en déduit qu'il existe une fonction polynomiale $Q$ telle que :
\[
\forall{x\in\R}\quad P(x)-1 = (x-1)\,Q(x).
\]
Ensuite, on peut calculer $Q$ avec le méthode générale de factorisation.
Indications
Comment déterminer successivement les coefficients de $Q$ ?
-
- Pour le coefficient de $x^4$, on commence par Ă©crire :
\[
16\,x^5 -20\,x^3 + 5\,x-1 = (x-1)\,(?\,x^4+\cdots )\cdot
\]
DĂ©termination du $?$
En regardant les termes de plus haut degré, on a immédiatement :
\[
16\,x^5 -20\,x^3 + 5\,x-1 = (x-1)\,(16\,x^4+\cdots )\cdot
\]
- pour le coefficient de $x^3$, on pense alors :
\[
16\,x^5 -20\,x^3 + 5\,x-1 = (x-1)\,(16\,x^4+?\,x^3+\cdots )\cdot
\]
DĂ©termination du $?$
Le produit du $-1$ de $(x-1)$ par le $16\,x^4$ de $Q$
donne $-16\,x^4$.
Comme $P(x)-1$ ne contient pas de $x^4$,
il faut compenser avec le produit du $x$ de $(x-1)$ avec
le $?\,x^3$, et on a donc :
\[
16\,x^5 -20\,x^3 + 5\,x-1 = (x-1)\,(16\,x^4+16\,x^3+\cdots )\cdot
\]
- pour le coefficient de $x^2$, on pense alors :
\[
16\,x^5 -20\,x^3 + 5\,x-1 = (x-1)\,(16\,x^4+16\,x^3+?\,x^2+\cdots )\cdot
\]
DĂ©termination du $?$
Le produit du $-1$ de $(x-1)$ par le $16\,x^3$ de $Q$
donne $-16\,x^3$.
Comme $P(x)-1$ contient $-20\,x^3$,
il manque $-4\,x^ 3$ qui viennent du produit du $x$ de $(x-1)$ avec
le $?\,x^2$, et on a donc :
\[
16\,x^5 -20\,x^3 + 5\,x-1 = (x-1)\,(16\,x^4+16\,x^3-4\,x^2+\cdots )\cdot
\]
- pour le coefficient de $x$, on pense alors :
\[
16\,x^5 -20\,x^3 + 5\,x-1 = (x-1)\,(16\,x^4+16\,x^3-4\,x^2+?\,x+\cdots )\cdot
\]
DĂ©termination du $?$
Le produit du $-1$ de $(x-1)$ par le $-4\,x^2$ de $Q$
donne $4\,x^2$.
Comme $P(x)-1$ ne contient pas de $x^2$,
il faut compenser avec le produit du $x$ de $(x-1)$ avec
le $?\,x$, et on a donc :
\[
16\,x^5 -20\,x^3 + 5\,x-1 = (x-1)\,(16\,x^4+16\,x^3-4\,x^2-4\,x+?).
\]
- pour le terme constant de $Q$, on pense alors :
\[
16\,x^5 -20\,x^3 + 5\,x-1 = (x-1)\,(16\,x^4+16\,x^3-4\,x^2-4\,x+?).
\]
DĂ©termination du $?$
Le produit du $-1$ de $(x-1)$ par le $-4\,x$ de $Q$
donne $4\,x$.
Comme $P(x)-1$ contient $5\,x$,
il manque $1\,x$ qui vient du produit du $x$ de $(x-1)$ avec
le $?$, et on a donc :
\[
16\,x^5 -20\,x^3 + 5\,x-1 = (x-1)\,(16\,x^4+16\,x^3-4\,x^2+4\,x+1).
\]
Il reste une dernière chose à faire :
VĂ©rifier que le produit des termes constant est correct,
ce qui est le cas ici, puisque :
\[
-1 = (-1) \times (+1).
\]
$\hskip5ex$
Solution
Pour tout $x\in\R$, nous avons :
\begin{align*}
P(x)-1 &= 16\,x^5 -20\,x^3 + 5\,x-1\\
&=(x-1)\,(16\,x^4+16\,x^3-4\,x^2-4\,x+1)
\end{align*}
Mais, vu que $P(x)-1$ ne contient que $3$ termes non constants,
on peut aussi utiliser avec profit la méthode qui a permis
de justifier le résultat général.
Indications
$\hskip5ex$
Solution
Pour tout $x\in\R$, nous avons :
\[
P(x)-1 = 16\,(x^5-1) -20\,(x^3-1)+5\,(x-1).
\]
Le membre de droite s'Ă©crivant :
\[
(x-1)\,\big(16\,(x^ 4+x^ 3+x^ 2+x+1)-20\,(x^ 2+x+1)+5\big)
\]
on en déduit :
\[
P(x)-1 = (x-1)\,(16\,x^ 4+16\,x^ 3 -4\,x^ 2-4\,x+1).
\]