Le seul problème est, dans les formules :
\[
C_{n}=\sum_{\ell=0}^{?}\,\binom{n}{2\,\ell}
\et
D_{n}=\sum_{\ell=0}^{?}\,\binom{n}{2\,\ell+1},
\]
de préciser la borne supérieure de l'indice $\ell$.
Pour :
$$C_{n}=\sum_{\ell=0}^{?}\,\binom{n}{2\,\ell},$$
il faut utiliser le plus grand entier $\ell$ tel que $2\,\ell\leq n$ ;
L'inéquation $2\,\ell\leq n$ équivaut à $\ell\leq \frac{n}{2}$
et, comme $\ell$ est entier, cela donne :
\[
\ell \leq \Big\lfloor \frac{n}{2} \Big\rfloor
\]
où $ \big\lfloor \frac{n}{2} \big\rfloor$ désigne
la partie entière de $\frac{n}{2}$
c'est-à -dire le plus grand entier inférieur ou égal à $\frac{n}{2}\cdot$
On a donc :
\[
C_{n}=\sum_{\ell=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }\,\binom{n}{2\,\ell}
\]
Pour :
$$D_{n}=\sum_{\ell=0}^{?}\,\binom{n}{2\,\ell+1},$$
il faut utiliser le plus grand entier $\ell$ tel que $2\,\ell+1\leq n$ ;
L'inéquation $2\,\ell+1\leq n$ équivaut à $\ell\leq \frac{n-1}{2}$
et, comme $\ell$ est entier, cela donne :
\[
\ell \leq \Big\lfloor \frac{n-1}{2} \Big\rfloor
\]
où $ \big\lfloor \frac{n-1}{2} \big\rfloor$ désigne
la partie entière de $\frac{n-1}{2}$
c'est-à -dire le plus grand entier inférieur ou égal à $\frac{n-1}{2}\cdot$
On a donc :
\[
D_{n}=\sum_{\ell=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }\,\binom{n}{2\,\ell+1}
\]
Encore une fois vous voyez qu'un peu de réflexion et un minimum de
calcul mental vous assure automatiquement la bonne écriture.
La démonstration est ensuite analogue à celle du cas particulier
de la question précédente et l'on trouve :
On a donc :
\[
C_{n}
=\sum_{\ell=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }\,\binom{n}{2\,\ell}
=2^{n-1}
\]
et :
\[
D_{n}
=\sum_{\ell=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }\,\binom{n}{2\,\ell+1}
=2^{n-1}.
\]
Rappel : En mathématiques pour tout $x\in \R$,
la partie entière de $x$ est le plus grand entier (relatif)
inférieur ou égal à $x$. Elle se note $\lfloor x\rfloor $
mais vous pourrez aussi trouver les anciennes notations
$[x]$ voire $E(x)$.
Que retenir de cet exercice ?
Remarque : Comme pour beaucoup d'autres formules,
-
- il ne faut pas vous encombrer la mémoire avec les deux relations
démontrées dans cette question
- mais il faut savoir qu'il est possible de simplifier ces deux sommes
et il faut surtout retenir le mécanisme (la ruse) qui permet de
retrouver immédiatement (de tête) un tel résultat quand vous en
avez besoin.