On peut commencer par développer $(k+n)^{2}$.
Commencer par écrire :
\[
A_n
=\sum_{k=1}^{n}\,k^{2}+\sum_{k=1}^{n}\,2\,k\,n+\sum_{k=1}^{n}\,n^{2}.
\]
Il reste alors à simplifier chacune des sommes.
On a :
\begin{align*}
A_n = \frac{n\,(n+1)\,(2\,n+1)}{6}+2\,n\,\frac{n\,(n+1)}{2}+n^{3}.
\end{align*}
Il n'y a plus qu'à réduire.
Solution
Soit $n\in\N^*$. On a alors :
\begin{align*}
A_n &=\sum_{k=1}^{n}\,(k+n)^{2} \\ \\
&=\sum_{k=1}^{n}\,k^{2}+ 2\, n \sum_{k=1}^{n}\,k+n^{2}\sum_{k=1}^{n}\,1\\ \\
&= \frac{n\,(n+1)\,(2\,n+1)}{6}+n^2\,(n+1)+n^{3}\\ \\
&= \frac{n\,(n+1)\,(2\,n+1)}{6}+n^2\,(2\,n+1)\\ \\
&= \frac{n\,(2\,n+1) (7\,n+1)}{6}\cdot
\end{align*}
On peut directement exprimer $A_n$ comme une différence de deux sommes
de type $S_n$.
Une translation d'index donne :
\[
A_n = \sum_{\ell=n+1}^{2 n}\ell^{2} = \sum_{k=n+1}^{2 n}k^{2}.
\]
Explication si nécessaire
Comme $n$ est fixé, on peut poser $\ell=k+n$ ou encore $k=\ell-n$.
Ainsi, lorsque $k$ croît de $1$ à $n$, alors $\ell$ varie de $n+1$
à $2n$, ce qui donne :
\[
A_n = \sum_{\ell=n+1}^{2 n}\ell^{2}.
\]
Ensuite, rien n'empêche de remplacer $\ell$ par $k$
puisque ce sont des variables muettes.
On en déduit $\ldots$
\[
A_n = S_{2n}-S_{n}
\]
Solution
Soit $n\in\N^*$. Une translation d'index donne :
\[
A_n = \sum_{\ell=n+1}^{2 n}\ell^{2} = \sum_{k=n+1}^{2 n}k^{2}.
\]
On en déduit :
\begin{align*}
A_n & =\sum_{k=1}^{2 n}k^{2}-\sum_{k=1}^{n} k^{2}\\ \\
&= \frac{2\,n\,(2\,n+1)\,(4\,n+1)}{6} -\frac{n\,(n+1)\,(2\,n+1)}{6}\\ \\
&= \frac{n\,(2n+1)}{6}\big(2\,(4\,n+1)-(n+1)\big)\\ \\
&= \frac{n\,(2n+1)\,(7\,n+1)}{6}\cdot
\end{align*}