Il faut commencer par simplifier $\ds u_n = \sum_{k=1}^{n}\,\frac{k^2}{n^3}\cdot$
Après avoir mis $\ds \frac{1}{n^3}$ en facteur,
il faut utiliser la formule donnant :
$$\ds S_n = \sum_{k=1}^{n}k^{2}.$$
Commencer par réécrire l'expression simplifiée de $S_n$.
(sans aller chercher la formule dans les pages précédentes)
Pour tout $n\in\N^*$, on a :
\[
S_n = \sum_{k=1}^{n}k^{2} = \frac{n\,(n+1)\,(2\,n+1)}{6}\cdot
\]
À force de l'écrire, peut-être de vous tromper, cette formule
devrait peu à peu vous rentrer dans la mémoire sans le moindre effort.
Simplification de $u_n$
Soit $n\in \N^{*}$. En mettant $\frac{1}{n^3}$ en facteur, on a :
\[
\sum_{k=1}^{n}\,\frac{k^2}{n^3}
=\frac{1}{n^{3}}\,\sum_{k=1}^{n}k^{2}
\]
et donc :
\[
u_n = \sum_{k=1}^{n}\,\frac{k^2}{n^3}
=\frac{1}{n^{3}}\,\frac{n\,\left( n+1\right) \,\left( 2n+1\right) }{6}\cdot
\]
On en déduit :
\[
u_n = \frac{(n+1) \,(2n+1)}{6\,n^2}\cdot
\]
Limite de $u_n$