Vous avez bien lu ce qui est écrit juste avant la proposition à démontrer ?
Il faut déduire ce résultat de celui de la proposition précédente
qui parlait $\ldots$
$\ldots$ d'une seule fonction polynomiale vérifiant :
\[
\forall{x\in \R}\quad \sum_{k=0}^{n}\,p_{k}\,x^{k} = 0.
\]
Or, ici, on a deux fonctions polynomiales vérifiant :
\[
\forall{x\in \R}\quad \sum_{k=0}^{n}\,p_{k}\,x^{k} = \sum_{k=0}^{n}q_{k}\,x^{k}.
\]
Il suffit donc de faire $\ldots$
$\ldots$ la différence.
Solution
Considérons que deux familles $p_{0}$, $p_{1}$, $\ldots$ $p_{n}$
et $q_{0}$, $q_{1}$, $\ldots$ $q_{n}$ de réels tels que :
\[
\forall{x\in \R}\quad \sum_{k=0}^{n}\,p_{k}\,x^{k} = \sum_{k=0}^{n}q_{k}\,x^{k}.
\]
Par différence, on en déduit immédiatement :
\[
\forall{x\in \R}\quad \sum_{k=0}^{n}\,(p_{k}-q_{k})\,x^{k} = 0.
\]
En appliquant le résultat de la proposition précédente, on obtient :
\[
\forall{k\in\ceo0,n\cef}\quad p_k - q_k=0
\]
et donc :
\[
\forall{k\in\ceo0,n\cef}\quad p_k = q_k.
\]