On suppose donc qu'il existe une famille $p_{0}$, $p_{1}$, $\ldots$ $p_{n}$
de $n+1$ réels non tous nuls tels que :
\[
\forall{x\in \R}\quad \sum_{k=0}^{n}\,p_{k}\,x^{k} = 0,
\]
et l'on désigne par $r$ le plus petit des entiers $k$ tels que $p_{k}\neq0$,
ce qui s'écrit encore :
\[
r = \min\big\{k\in\ceo0,n\cef \Tq p_{k}\neq 0\big\}.
\]
$(*)$ Attention : « non tous nuls » ou « tous non nuls » ?
Ne pas confondre « non tous nuls » et « tous non nuls » !
Ce sont les mêmes mots, mais pas dans le même ordre, et le sens
de la phrase est complètement différent.
-
- « non tous nuls » signifie que les $p_{k}$ ne sont pas tous nuls
et donc qu'il y en a au moins un de non nul.
C'est la négation de « tous nuls », qui est ce que l'on veut démontrer.
- « tous non nuls » signifierait qu'aucun des $p_{k}$ n'est nul :
ce n'est pas la négation de ce que l'on veut démontrer.
Encore une fois nous voyons que le français est important et
qu'il ne faut surtout pas le négliger sous prétexte que l'on fait
des mathématiques !
$(*)$ Pour quels $k$ peut-on affirmer $p_{k}=0$ ou $p_{k}\neq0$ ?
$(*)$ Factoriser $\sum_{k=0}^{n}\,p_{k}\,x^{k} $ et aboutir à une contradiction.
On peut mettre $x^r$ en facteur puis en déduire $\ldots$
Écrire :
\[
\sum_{k=0}^{n}\,p_{k}\,x^{k} =\sum_{k=r}^{n}\,p_{k}\,x^{k}
=x^r \, \sum_{k=r}^{n}\,p_{k}\,x^{k-r}
\]
et en déduire :
\[
\forall{x\in\R^{*}}\quad \sum_{k=r}^{n}\,p_{k}\,x^{k-r} = 0.
\]
Il est alors aisé de conclure.
Solution
Démontrons le résultat annoncé par l'absurde.
Supposons donc qu'il existe une famille $p_{0}$, $p_{1}$, $\ldots$ $p_{n}$
de $n+1$ réels non tous nuls tels que :
\[
\forall{x\in \R}\quad \sum_{k=0}^{n}\,p_{k}\,x^{k} = 0.
\]
Désignons par $r$ le plus petit des entiers $k$ tels que $p_{k}\neq0$,
ce qui s'écrit encore :
\[
r = \min\big\{k\in\ceo0,n\cef \Tq p_{k}\neq 0\big\}.
\]
On a donc $p_r\neq0$ et :
\[
\sum_{k=0}^{n}\,p_{k}\,x^{k}
=\sum_{k=r}^{n}\,p_{k}\,x^{k}
= x^r \, \sum_{k=r}^{n}\,p_{k}\,x^{k-r}.
\]
De l'hypothèse :
\[
\forall{x\in \R}\quad \sum_{k=0}^{n}\,p_{k}\,x^{k} = 0,
\]
on déduit alors :
\[
\forall{x\in \R^*}\quad \sum_{k=r}^{n}\,p_{k}\,x^{k-r}=0.
\]
En faisant tendre $x$ vers $0$ dans cette dernière égalité,
on obtient $p_r=0$, ce qui est contradictoire avec $p_r\neq0$,
et termine la démonstration.