On peut faire une démonstration par récurrence.
Mais il faut alors commencer par bien expliciter la propriété
dépendant de $n$ que l'on veut prouver par récurrence.
On peut prouver par récurrence sur $n\in\N$, la propriété $H_n$ :
Si $p_{0}$, $p_{1}$, $\ldots$ $p_{n}$ est une famille
de $n+1$ éléments de $\R$ tels que :
\[
\forall{x\in \R}\quad \sum_{k=0}^{n}\,p_{k}\,x^{k} = 0,
\]
alors, pour tout $k\in\ceo 0,n\cef$, on a $p_k =0$.
Il faut alors initialiser.
Pour $n=0$, c'est facile.
Supposons $n=0$ et soit donc $p_{0}$ une famille d'un seul élément tel que :
\[
\forall{x\in \R}\quad p_{0} = 0.
\]
Il est alors immédiat que $p_0 =0$.
Puis prouver l'hérédité.
Soit $n\in\N^*$ tel que $H_{n-1}$ est vraie.
Montrons que $H_n$ est vraie.
On veut démontrer $H_n$ qui est du type « Si $\ldots$, alors ».
On commence donc par prendre une famille $p_{0}$, $p_{1}$, $\ldots$ $p_{n}$
de $n+1$ éléments de $\R$ tels que :
\[
\forall{x\in \R}\quad \sum_{k=0}^{n}\,p_{k}\,x^{k} = 0.
\]
Il reste alors à prouver que tous les $p_k$ sont nuls.
C'est facile avec les deux premières questions.
Soit $n\in\N^*$ tel que $H_{n-1}$ est vraie.
Considérons donc une famille $p_{0}$, $p_{1}$, $\ldots$ $p_{n}$
de $n+1$ éléments de $\R$ tels que :
\[
\forall{x\in \R}\quad \sum_{k=0}^{n}\,p_{k}\,x^{k} = 0,
\]
D'après la première question, on a $p_0=0$ et
\[
\forall{x\in \R}\quad \sum_{k=1}^{n}\,p_{k}\,x^{k-1} = 0,
\]
ou encore :
\[
\forall{x\in \R}\quad \sum_{k=0}^{n-1}\,p_{k+1}\,x^{k} = 0.
\]
D'après l'hypothèse $H_{n-1}$, on en déduit :
\[
\forall{k\in\ceo0,n-1\cef} \quad p_{k+1}=0
\]
ou encore :
\[
\forall{k\in\ceo1,n\cef} \quad p_{k}=0.
\]
Comme on a déjà prouvé $p_{0}=0$, on en déduit $H_{n}$,
ce qui termine la démonstration par récurrence.
Remarque : On a ici pris $n\in\N^*$ car on a supposé que $H_{n-1}$ est vraie.
On aurait pu prendre $n\in\N$ en supposant $H_n$ vraie, puis
démontrer $H_{n+1}$.