Il faut donc justifier :
\[
\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}.
\]
Au fait, pour quelles valeurs de $n$ et de $k$ ?
Pour pouvoir écrire la formule précédente, il faut avoir :
\[
k \leq n, \quad n-1 \geq 0 \et k-1 \geq 0
\]
et donc :
\[
1 \leq k \leq n .
\]
Ici, il faut évidemment partir de $\ldots$
Solution
Soit $n\in\N^*$ et $k\in\ceo1,n\cef$. On a alors :
\[
\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}
=\frac{\left( n-1\right) \,!}{k\,!\,\left(n-1-k\right) \,!}
+\frac{\left( n-1\right) \,!}{(k-1)\,!\,\left( n-k\right)\,!}\cdot
\]
Une réduction au même dénominateur $k\,!\,\left( n-k\right)\,!$ donne :
\[
\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}
=\frac{\left( n-1\right) \,!\times (n-k)}{k\,!\,\left(n-k\right) \,!}
+\frac{\left( n-1\right) \,!\times k }{k\,!\,\left( n-k\right)\,!}\cdot
\]
et donc :
\[
\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}
=\frac{(n-1) \,!}{k\,!\,(n-k)\,!}\Big((n-k)+k\Big)
=\frac{n\,!}{k\,!\,(n-k) \,!}
\cdot
\]
D'où le résultat.