Faire un changement d'index pour avoir un index
qui varie de $1$ Ă $n$ comme dans l'autre somme.
Pour tout $x\in\R$, on a :
\[
\sum_{k=0}^{n-1}\,n\, \binom{n-1}{k}\,x^{k}
= \sum_{k=1}^{n}\,n\, \binom{n-1}{k-1}\,x^{k-1}.
\]
Explications supplémentaires si nécessaire
Dans la somme :
\[
\sum_{k=0}^{n-1}\,n\, \binom{n-1}{k}\,x^{k}
\]
on a fait le changement d'index $\ell=k+1$ ou encore $k=\ell-1$
pour obtenir :
\[
\sum_{\ell=1}^{n}\,n\, \binom{n-1}{\ell-1}\,x^{\ell-1}
\]
En effet lorsque $k$ varie de $0$ Ă $n-1$, alors $\ell=k+1$
varie de $1$ Ă $n$. Pour finir il suffit de remarquer que :
\[
\sum_{\ell=1}^{n}\,n\, \binom{n-1}{\ell-1}\,x^{\ell-1}
=\sum_{k=1}^{n}\,n\, \binom{n-1}{k-1}\,x^{k-1}
\]
puisque $\ell$ et $k$ sont des indices muets.