Comme on l'a déjà vu dans la formule de factorisation de $a^n-b^n$,
on peut ici aussi donner deux interprétations de l'homogénéité
de a formule :
$\hskip5em
\ds(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\,\binom{n}{k}\,\,a^{k}\,b^{n-k}.
\hskip3em$
-
- D'une part, le membre de droite est homogène car
c'est une combinaison linéaire de termes $a^p\,b^q$
qui sont globalement de même degré puisque $p+q=n$.
- D'autre part, si l'on remplace $a$ par $t\,a$ et $b$ par $t\,b$
alors les deux membres sont multipliés par $t^{n}$.
Ce genre de considération peut aider à la vérification des formules.
En effet imaginons que vous ayez écrit :
\[
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\,\binom{n}{k}\,\,a^{k}\,b^{n-k-1}.
\]
Pourquoi est-il évident qu'il y a une erreur ?
Si l'on remplace $a$ par $t\,a$ et $b$ par $t\,b$
dans :
\[
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\,\binom{n}{k}\,\,a^{k}\,b^{n-k-1}
\]
alors le membre de droite est multiplié par $t^{n-1}$
mais le membre de gauche est multiplié par $t^n$ ;
d'où un léger malaise !