En utilisant la formule donnant le développement de $(a+b)^n$, on obtient :
\[
\forall{x\in\R}\quad
(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\,\lambda_{n,k}\,x^{k}
\]
et
\[
\forall{x\in\R}\quad
(x+1)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\,\lambda_{n,k}\,x^{n-k}
=\sum_{k=0}^{n}\,\lambda_{n,n-k}\,x^{k}.
\]
Voir explication si nécessaire
Pour l'égalité :
\[
\sum_{k=0}^{n}\,\lambda_{n,k}\,x^{n-k}
=\sum_{k=0}^{n}\,\lambda_{n,n-k}\,x^{k}
\]
faire une symétrisation de l'index.
Si l'on pose $\ell=n-k$, alors on a :
\[
\sum_{k=0}^{n}\,\lambda_{n,k}\,x^{n-k}
=\sum_{\ell =0}^{n}\,\lambda_{n,n-\ell}\,x^{\ell}
\]
Comme $\ell$ et $k$ sont muets, on a aussi :
\[
\sum_{\ell =0}^{n}\,\lambda_{n,n-\ell}\,x^{\ell}
=\sum_{k=0}^{n}\,\lambda_{n,n-k}\,x^{k}.
\]
Comme $(1+x)^n=(x+1)^n$, les deux fonctions polynomiales :
\[
x \mapsto \sum_{k=0}^{n}\,\lambda_{n,k}\,x^{k}
\et
x \mapsto \sum_{k=0}^{n}\,\lambda_{n,n-k}\,x^{k}
\]
sont égales ; par suite, elles ont les mêmes coefficients et donc :
\[
\forall{k\in\ceo0,n\cef}\quad \lambda_{n,k}=\lambda_{n,n-k}
\]
ce qui prouve le résultat demandé.