soit avec des points de suspensions
Prendre comme modèle le calcul fait pour passer de $n=4$ à $n=5$.
Soit $n\in\N^*$. Soit $a$ et $b$ deux réels. En supposant $H_n$, on a donc :
\begin{align*}
(a+b)^{n+1} &= (a+b)\,(a+b)^n\\
&= (a+b)\big(\lambda_{n,0}\,a^n+\lambda_{n,1}\,a^{n-1}\,b
+\cdots+\lambda_{n,n}\,b^n\big)\\
\end{align*}
En développant, on obtient :
\begin{align*}
(a+b)^{n+1} &=\lambda_{n,0}\,a^{n+1}+\lambda_{n,1}\,a^{n}\,b
+\cdots+\lambda_{n,n}\,a \,b^n\\
&\phantom{=\lambda_{n,0}\,a^{n+1}\;}
+\lambda_{n,0}\,a^n\,b+\cdots
+\lambda_{n,n-1}\,a\,b^n+\lambda_{n,n}\,b^{n+1}.
\end{align*}
Si l'on pose alors :
\[
\lambda_{n+1,0} = \lambda_{n,0} \et \lambda_{n+1,n+1} = \lambda_{n,n}
\]
ainsi que :
\[
\forall{k\in\ceo1,n\cef}\quad \lambda_{n+1,k} = \lambda_{n,k}+ \lambda_{n,k-1},
\]
on a :
\[
(a+b)^{n+1}= \lambda_{n+1,0}\,a^{n+1}+\lambda_{n+1,1}\,a^n\,b+\cdots
+\lambda_{n+1,n}\,a\,b^n+\lambda_{n+1,n+1}\,b^n.
\]
On a donc trouvé des coefficients entiers tels que :
\[
\forall{a\in\R}\quad\forall{b\in\R}\quad
(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}\,\lambda_{n+1,k}\,a^{(n+1)-k}\,b^k
\]
ce qui prouve $H_{n+1}$.
soit avec des $\Sigma$
Soit $n\in\N^*$. Soit $a$ et $b$ deux réels. En supposant $H_n$, on a donc :
\begin{align*}
(a+b)^{n+1} &= (a+b)\,(a+b)^n\\
&= (a+b)\bigg(\sum_{k=0}^n\lambda_{n,k}\,a^{n-k}\,b^{k}\bigg).
\end{align*}
En développant, on obtient :
\begin{align*}
(a+b)^{n+1} &=\sum_{k=0}^n\lambda_{n,k}\,a^{n-k+1}\,b^{k}
+\sum_{k=0}^n\lambda_{n,k}\,a^{n-k}\,b^{k+1}.
\end{align*}
Dans la seconde somme, le changement d'index $\ell=k+1$ donne :
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n\lambda_{n,k}\,a^{n-k}\,b^{k+1}
&=\sum_{\ell=1}^{n+1}\lambda_{n,\ell-1}\,a^{n-\ell+1}\,b^{\ell}\\
&=\sum_{k=1}^{n+1}\lambda_{n,k-1}\,a^{n-k+1}\,b^{k}
\end{align*}
On en déduit :
\begin{align*}
(a+b)^{n+1} &=\sum_{k=0}^n\lambda_{n,k}\,a^{n-k+1}\,b^{k}
+\sum_{k=1}^{n+1}\lambda_{n,k-1}\,a^{n-k+1}\,b^{k}\\
&=\lambda_{n,0}\,a^{n+1}+\sum_{k=1}^n\lambda_{n,k}\,a^{n-k+1}\,b^{k}\\
&\phantom{=\lambda_{n,0}\,a^{n+1}\;}+\sum_{k=1}^{n}\lambda_{n,k-1}\,a^{n-k+1}\,b^{k}
+\lambda_{n,n}\,b^{n+1}\\
&=\lambda_{n,0}\,a^{n+1}
+\sum_{k=1}^n(\lambda_{n,k}+\lambda_{n,k-1})\,a^{n-k+1}\,b^{k}
+\lambda_{n,n}\,b^{n+1}.\\
\end{align*}
Si l'on pose alors :
\[
\lambda_{n+1,0} = \lambda_{n,0} \et \lambda_{n+1,n+1} = \lambda_{n,n}
\]
ainsi que :
\[
\forall{k\in\ceo1,n\cef}\quad \lambda_{n+1,k} = \lambda_{n,k}+ \lambda_{n,k-1},
\]
on obtient $n+2$ entiers naturels
$\lambda_{n+1,0}$, $\lambda_{n+1,1}$, $\ldots$, $\lambda_{n+1,n+1}$
tels que :
\[
\forall{a\in\R}\quad\forall{b\in\R}\quad
(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1}\,\lambda_{n+1,k}\,a^{n+1-k}\,b^k
\]
ce qui prouve $H_{n+1}$ et termine la démonstration par récurrence.