Si nécessaire, essayez avec $n=3$ ou $n=4$.
Pour $n=3$, la somme proposée $\sum_{k=0}^{3}\big(u_{k+1}-u_{k}\big)$ s'écrit :
\[
\big(u_{1}-u_{0}\big)
+\big(u_{2}-u_{1}\big)
+ \big(u_{3}-u_{2}\big)
+ \big(u_{4}-u_{3}\big)
\]
et il est évident qu'elle se simplifie en :
\[
u_{4} - u_{0}.
\]
Remarque : L'avantage d'étudier de tels cas particuliers est que l'on peut alors tout écrire,
ce qui permet souvent de mieux comprendre comment faire.
Il reste alors à généraliser $\ldots$ rigoureusement.
Avez-vous essayé le cas général avec des points de suspension ?
La somme proposée s'écrit :
\begin{align*}
\smash{\sum_{k=0}^{n}\big(u_{k+1}-u_{k}\big)}
=& \phantom{\,\,+}\big(u_{1}-u_{0}\big)\\
&+ \big(u_{2}-u_{1}\big)\\
&+ \big(u_{3}-u_{2}\big)\\
&\phantom{=\big(u_{3}-}\vdots \\
&+ \big(u_{n}-u_{n-1}\big)\\
&+ \big(u_{n+1}-u_{n}\big)\\
\end{align*}
Sous cette forme, la simplification en diagonale
d'une ligne à l'autre est évidente, et l'on obtient :
\[
\sum_{k=0}^{n}\big(u_{k+1}-u_{k}\big) = u_{n+1}-u_{0}.
\]
Remarque : On peut en profiter pour faire un peu de vocabulaire :
pour des raisons visuelles immédiates sur la première forme ci-dessus,
la simplification que l'on vient d'effectuer
s'appelle simplification télescopique.
Quand on repère une telle simplification, il ne faut évidemment pas
se priver de la faire mais vous voyez bien que ce terme de télescopique
recouvre juste quelque chose de bien naturel !
Justification plus rigoureuse
Dans notre cas particulier, cela donne :
\[
\sum_{k=0}^{n}\big((k+1)^{3}-k^{3}\big) = (n+1)^3.
\]
Remarque : Dans une rédaction, on peut directement donner le résultat ci-dessus
sans se poser de question : ce n'est qu'un calcul !
Si vous éprouvez le désir de vous justifier, vous pouvez
soit dire « par simplification télescopique » soit mettre
des points de suspension. Il est aussi possible de casser la somme
en deux pour montrer la simplification mais ce n'est pas une obligation.