Écrire la relation $P(a)=0$ sous la forme :
\[
a^{4}-6\,a^{3}+6\,a^{2}-4\,a=5
\]
ou encore $\ldots$
Si $a\in \Z$ vérifie $P(a)=0$, alors :
\[
a\,(a^{3}-6\,a^{2}+6\,a-4) = 5.
\]
Il reste à prendre quelques précautions pour pouvoir
parler de divisibilité.
Comme $a^{3}-6\,a^{2}+6\,a-4$ est évidemment élément de $Z$,
on en déduit que $a$ divise $5$.
Il reste donc peu de possibilités à tester :
Par suite, si $a\in\Z$ vérifie $P(a)=0$, alors :
\[
a\in \{-1,\, 1,\,-5,\,5\}.
\]
Que faut-il alors faire ?
Il reste à voir si l'un des nombres précédents est effectivement
solution de l'Ă©quation $P(x)=0$.
Un calcul bien mené permet de vérifier facilement
sans calculatrice que $P(5)=0$.