On peut facilement mettre $(x-1)$ en facteur dans $x^{2}-2\,x+1$.
En effet :
\[
x^{2}-2\,x+1 = (x-1)^2.
\]
On a donc intérêt à écrire $\ldots$
On a donc intérêt à écrire :
\[
P(x)=x^{5}-3\,x^{4}+2\,x^{3}+(x-1)^2
\]
et $(x-1)$ doit donc être en facteur dans :
\[
x^{5}-3\,x^{4}+2\,x^{3}.
\]
En effet $\ldots$
$\ldots$ on a :
\[
x^{5}-3\,x^{4}+2\,x^{3} = x^3\,(x^{2}-3\,x+2)
\]
et il n'est pas difficile de factoriser :
$$\hskip1cm x^{2}-3\,x+2 $$
puisque $\ldots$
$\ldots$ c'est un trinôme du second degré dont $1$ est évidemment racine.
Il est alors facile de trouver l'autre racine.
En utilisant le produit des racines d'un trinôme du second degré,
qui vaut ici $2$,
on voit que l'autre racine est $2$.
On en déduit la factorisation.
Étant donné que les racines sont $1$ et $2$ et
que le coefficient de $x^2$ est $1$, on a :
\[
x^{2}-3\,x+2 = (x-1)\,(x-2).
\]
Remarque : Dans une copie, il est inutile d'expliquer tout ce
qui précède, il suffit d'écrire :
\[
x^{2}-3\,x+2 = (x-1)\,(x-2)
\]
car le calcul est évident de tête.
Solution
Pour tout $x\in\R$, on a :
\begin{align*}
P(x)&=x^{5}-3\,x^{4}+2\,x^{3}+(x-1)^2\\
&= x^3\,(x^{2}-3\,x+2)+(x-1)^2.
\end{align*}
Comme :
\[
x^{2}-3\,x+2 = (x-1)\,(x-2),
\]
on en déduit :
\begin{align*}
P(x)& = x^3\,(x-1)\,(x-2)+(x-1)^2\\
& = (x-1)\,(x^4-2\, x^3 + x-1).
\end{align*}