$\ldots$ le changement de $b$ en $-b$ transforme $b^n$ en $-b^n$,
c'est-Ã -dire lorsque $n$ $\ldots$
Supposons $n$ impair et posons $n=2\,p+1$ avec $p\in \N^*$.
Écrire la factorisation de $a^{2p+1}-b^{2p+1}$
On a :
\[
a^{2p+1}-b^{2p+1}=(a-b) \bigg(\sum_{k=0}^{2p}a^{2p-k}\,b^{k}\bigg).
\]
et en déduire celle de $a^{2p+1}+b^{2p+1}$.
Si dans la formule :
\[
a^{2p+1}-b^{2p+1}=(a-b) \bigg(\sum_{k=0}^{2p}\,a^{2p-k}b^{k}\bigg)
\]
on remplace $b$ par $-b$, on obtient :
\begin{align*}
a^{2p+1}+b^{2p+1}&=a^{2p+1}-(-b)^{2p+1}\\ \\
&=(a+b) \bigg(\sum_{k=0}^{2p}a^{2p-k}\,(-b)^{k}\bigg)\\ \\
&=(a+b) \bigg(\sum_{k=0}^{2p}(-1)^{k}\,a^{2p-k}\,b^{k}\bigg).
\end{align*}
Explications pour la dernière transformation
Pour tout $k\in\ceo0,2p\cef$, c'est la règle des signes qui donne :
\[
(-b)^{k} = (-1)^{k}\,b^{k}.
\]
C'est la même règle de calcul qui, à la première ligne,
nous a permis d'écrire :
\[
(-b)^{2p+1} = - b^{2p+1}.
\]
Remarque : même s'il a été ici détaillé, le
calcul précédent doit évidemment pouvoir se faire de tête et de façon instantanée