Posons :
\[
P = (a-b) \bigg( \sum_{k=0}^{n-1}a^{k}\,b^{n-1-k}\bigg).
\]
Par distributivité, on obtient :
\begin{align*}
P &= a\bigg(\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}\,b^{n-1-k}\bigg)
-b\bigg(\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}\,b^{n-1-k}\bigg) \\
&=\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}\,b^{n-1-k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}\,b^{n-k}.
\end{align*}
Si, dans la première somme, on pose $ \ell=k+1$ et donc $k= \ell-1$, on obtient :
\[
\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}\,b^{n-1-k}=\sum_{ \ell=1}^{n}a^{ \ell}\,b^{n- \ell}.
\]
Voir explications si nécessaire
Pour faire le changement d'index $ \ell=k+1$ et donc $k= \ell-1$
dans la somme :
\[
\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}\,b^{n-1-k}
\]
-
- d'abord, on remplace $k$ par $k= \ell-1$ ;
- puis, pour les bornes, on se dit que :
* lorsque $k=0$ alors $\ell=k+1$ vaut $1$,
* lorsque $k=n-1$ alors $\ell=k+1$ vaut $n$,
ce qui donne :
\[
\sum_{ \ell=1}^{n}a^{ \ell}\,b^{n- \ell}.
\]
Comme $\ell$ et $k$ sont des indices muets, on a :
\[
\sum_{ \ell=1}^{n}a^{ \ell}\,b^{n- \ell}=\sum_{k=1}^{n}a^{k}\,b^{n-k}.
\]
On en déduit :
\begin{align*}
P &=\sum_{k=1}^{n}a^{k}\,b^{n-k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}\,b^{n-k}\\ \\
&=\bigg(\sum_{k=1}^{n-1}a^{k}\,b^{n-k}+a^n\bigg)-\bigg(b^n+\sum_{k=1}^{n-1}a^{k}\,b^{n-k}\bigg)
\end{align*}
et donc :
\[
(a-b) \bigg( \sum_{k=0}^{n-1}a^{k}\,b^{n-1-k}\bigg) = a^n-b^n.
\]