On suppose alors $H_n$, c'est-Ã -dire :
\[
\sum_{k=1}^{n}\,k^{2}=\frac{n\,(n+1)\,(2\,n+1)}{6}
\]
et l'on veut démontrer $H_{n+1}$.
Donc on s'intéresse à :
\[
\sum_{k=1}^{n+1}\,k^{2}
\]
que l'on écrit :
\[
\sum_{k=1}^{n+1}\,k^{2} = \sum_{k=1}^{n}\,k^{2}+(n+1)^2.
\]
En utilisant $H_n$, on a :
\[
\sum_{k=1}^{n}\,k^{2}+(n+1)^2 =\frac{n\,(n+1)\,(2\,n+1)}{6}+(n+1)^2 .
\]
Et alors :
Il faut évidemment mettre $(n+1)$ en facteur !
Suite du calcul :
En utilisant $H_n$, on a :
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\,k^{2}+(n+1)^2
&=\frac{n\,(n+1)\,(2\,n+1)}{6}+(n+1)^2 \\ \\
&=\frac{n+1}{6}\,\Big(n\,(2\,n+1)+6\,(n+1)\Big)\\ \\
&=\frac{n+1}{6}\,\big(2\,n^2+7\,n +6\big)\\ \\
&=\frac{n+1}{6}\,(2\,n+3)\,(n+2).
\end{align*}
D'où $H_{n+1}$ puisque $ (n+1)\,(n+2)\,(2\,n+3)$ s'écrit :
\[
(n+1)\,\big((n+1)+1\big)\,\big(2\,(n+1)+1\big).
\]
Explications supplémentaires sur le calcul si nécessaire.
Il ne faut rien écrire de plus dans le calcul précédent :
en particulier, dans le passage de la troisième à la quatrième ligne,
surtout ne pas écrire le développement des deux produits ;
il faut le faire de tête.
Si le passage de l'avant-dernière à la dernière ligne
vous semble miraculeux ou pas évident,
c'est que vous aviez oublié le but.
Il suffit d'écrire $H_{n+1}$ pour le trouver.
Et comme n'importe qui est capable de développer
ce produit de tête, inutile d'en mettre plus.