$\ldots$ $\ell = k+n$ et l'on obtient alors :
\[
A_n = \sum_{k=0}^{n}\,(k+n)=\sum_{\ell=n}^{2\,n}\,\ell.
\]
On peut alors :
soit utiliser la formule donnant
la somme des $n$ premiers entiers
et la somme des $2n$ premiers entiers puis faire une différence ;
Avec cette méthode (qui n'est pas ici la plus efficace), on obtient :
\begin{align*}
A_n &=\sum_{k=n}^{2\,n}\,k\\ \\
&= \sum_{k=0}^{2\,n}l-\sum_{k=0}^{\,n-1}\,k \\ \\
&= \frac{2\,n\left( 2\,n+1\right) }{2}-\frac{n\,\left( n-1\right) }{2} \\ \\
&= \frac{n}{2}\big( (4\,n+2)-(n-1)\big) \\ \\
&= \frac{3n}{2}\left( n+1\right).
\end{align*}
soit dire qu'il s'agit d'une somme de termes d'une suite arithmétique
commençant à $n$ et finissant à $2n$.
Ainsi,
\[
A_n = \sum_{k=0}^{n}\,(k+n) =\sum_{k=n}^{2\,n}\,k
\]
est la somme de $n+1$ termes d'une suite arithmétique
de premier terme $n$ et de dernier terme $2n$ ; donc :
\[
A_n = (n+1)\,\frac{n + 2n}{2} = \frac{3n\,(n+1)}{2}\cdot
\]