Commencer par écrire :
\[
r\,S_{n} = r\,\sum_{k=0}^{n}\,u_{k}=\sum_{k=0}^{n}\,u_{k+1}.
\]
Puis $\ldots$
Solution
Soit $n\in\N$ et $S_{n} = \sum_{k=0}^{n} u_{k} $. On a alors :
\begin{align*}
r\, S_{n} = r\,\sum_{k=0}^{n} u_{k}
= \sum_{k=0}^{n} r\,u_{k}
= \sum_{k=0}^{n} u_{k+1}
\end{align*}
En écrivant :
\[
\sum_{k=0}^{n} u_{k+1} = \sum_{k=1}^{n+1} u_{k} = \bigg(\sum_{k=1}^{n} u_{k}\bigg)+ u_{n+1},
\]
et
\[
S_{n} =u_0 + \sum_{k=1}^{n} u_{k}
\]
par différence, on obtient :
\[
(1-r)\,S_{n} = u_{0}-u_{n+1}
\]
et l'on termine comme avec le première méthode.