Que représente $q-p+1 $ pour la somme précédente ?
C'est le nombre de termes de cette somme.
L'astuce est toujours la même $\ldots$
Il s'agit d'écrire la somme à l'envers.
Vu que ce n'est pas la première fois que l'on rencontre cela,
on peut faire directement une symétrisation de l'index.
Poser $\ell =p+q-k$.
Ensuite on continue comme pour la somme des $n+1$ premiers termes.
Solution
Posons $S_{p,q}=\sum_{k=p}^{q} u_{k} $. Le changement d'index $\ell=p+q-k$ donne :
\[
S_{p,q} = \sum_{\ell=p}^{q} u_{p+q-\ell} = \sum_{k=p}^{q} u_{p+q-k}.
\]
On en déduit alors :
\begin{align*}
2\, S_{p,q} &= \sum_{k=p}^{q}\,u_{k}+\sum_{k=p}^{q}\,u_{p+q-k}\\
&= \sum_{k=p}^{q}\,(u_{k}+u_{p+q-k}).
\end{align*}
Comme $u$ est une suite arithmétique, on a :
\[
u_{k}+u_{p+q-k} = u_p + u_q.
\]
Il s'ensuit que :
\begin{align*}
2\, S_{p,q} &= \sum_{k=p}^{q}\,(u_{p}+u_{q}) = (q-p+1)\,(u_{p}+u_{q})
\end{align*}
et donc que :
\[
\sum_{k=p}^{q} u_{k} = (q-p+1)\,\frac{(u_{p}+u_{q})}{2}\cdot
\]