La somme $\sum_{k=p}^{q}\,a_{k}$ contient $q-p+1$ éléments.
Comment s'en assurer ?
On sent bien que la réponse est de l'ordre de $q-p$, c'est-à -dire :
\[
\et[soit] p-q-1, \et[soit] p-q, \et[soit] p-q+1.
\]
En vérifiant, lorsque $p=1$ par exemple,
on voit que la bonne réponse est $q-p+1$.
Remarque : Évidemment, ce qui précède n'est pas une démonstration ; mais lorsque
vous aurez besoin d'utiliser ce résultat, vous n'aurez pas à la justifier,
il faudra juste ne pas vous tromper d'une unité !
Et ce qui précède est alors suffisant.
Justification plus rigoureuse
La liste qui nous intéresse :
\[
a_{p}\,,\; a_{p+1}\,,\; \ldots\,,\; a_{q}
\]
peut être vue comme ce qui reste dans la liste :
\[
a_{0}\,,\; a_{1}\,,\; \ldots\,,\; a_{q} \hskip1cm\text{qui contient $q+1$ éléments}
\]
après suppression de la liste :
\[
a_{0}\,,\; a_{1}\,,\; \ldots \,,\; a_{p-1} \hskip1cm\text{qui contient $p$ éléments.}
\]
Donc la liste qui nous intéresse contient $q+1-p$ éléments.