Commencer par Ă©crire :
\[
S_{n} = \sum_{k=0}^{n}\,u_{k} = u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}.
\]
Au fait, combien y a-t-il de termes dans cette somme ?
J'espère que vous n'avez pas commis une erreur courante
et que vous avez remarqué que l'indice va de $0$ à $n$.
La somme $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots u_{n}$ contient $n+1$ termes.
Pour simplifier, appliquer la ruse qui consiste $\ldots$
Solution
Soit $n\in\N$. On a alors :
\begin{align*}
S_{n} &=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n} \\ \\
r\, S_{n}&= \phantom{u_{0}+{}} u_{1}+\cdots +u_{n}+u_{n+1}\\
\end{align*}
Par différence, on obtient :
\[
(1-r)\,S_{n} = u_{0}-u_{n+1}.
\]
-
- Si $r\neq1$, on en déduit :
\[
S_n = \frac{u_{0}-u_{n+1}}{1-r\phantom{_{n+1}}} = u_{0} \,\frac{1-r^{n+1}}{1-r\phantom{_{n+1}}}\cdot
\]
- Si $r=1$, alors la suite $u$ est constante et l'on a :
\[
S_n = (n+1)\,u_0.
\]
Ne jamais oublier ce cas particulier !
Remarque : Bien plus que la formule, c'est la « ruse » prĂ©cĂ©demment utilisĂ©e qu'il faut retenir :
elle permet en effet de retrouver la valeur de cette somme $S_{n}$
sans risquer de se tromper d'un cran.