On obtient :
\begin{align*}
2\, S_n &= \sum_{k=0}^{n}\,u_{k}+\sum_{k=0}^{n}\,u_{n-k}\\
&= \sum_{k=0}^{n}\,(u_{k}+u_{n-k}).
\end{align*}
Remarque : Dans un calcul, vous pouvez utiliser, sans explication ni justification,
cette « règle » de calcul que l'on a vue dans un exercice précédent.
Pour tout $k$, la somme $u_{k}+\,u_{n-k}$ peut se simplifier $\ldots$
Comme :
\[
u_{k}+\,u_{n-k} = u_{0}+\,u_{n}
\]
ne dépend pas de $k$,
Comme $u$ est une suite arithmétique de raison $r$, on a :
\[
u_{k}+u_{n-k} = (u_0+k\,r)+(u_n -k\,r) = u_0 + u_n.
\]
il est facile de simplifier la somme.