Posons $S_{n}=\sum_{k=0}^{n}\,u_{k}$.
Commencer par écrire :
\[
S_{n} = \sum_{k=0}^{n}\,u_{k} = u_{0}+u_{1}+\cdots u_{n}.
\]
Au fait, combien y a-t-il de termes dans cette somme ?
J'espère que vous n'avez pas commis une erreur courante
et que vous avez remarqué que l'indice va de $0$ à $n$.
La somme $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots u_{n}$ contient $n+1$ termes.
Pour simplifier, appliquer la ruse qui consiste $\ldots$
$\ldots$ à écrire $S_{n}$ « dans l'autre sens », puis à faire $\ldots$.
On écrit :
\begin{align*}
S_{n}&=u_{0}+u_{1\phantom{-1}}+\cdots +u_{n-1}+u_{n} \\
&\hskip1.5em \vdots \hskip2em \vdots \hskip5.3em \vdots\hskip3em \vdots \\
S_{n}&=u_{n}+u_{n-1}+\cdots +u_{1\phantom{-n}}+u_{0}
\end{align*}
En faisant la somme des deux lignes précédentes,
on s'aperçoit que dans chaque colonne $\ldots$
$\ldots$ la somme est constante.
$\bullet$ On peut le justifier rapidement.
Quand on progresse d'une colonne vers la droite,
$*$ le terme de la ligne supérieure augmente de $r$,
$*$ le terme de la ligne inférieure diminue de $r$ ;
Ainsi, la somme est constante et vaut $u_{0}+u_{n}$.
$\bullet$ On peut le justifier par le calcul.
Soit $k\in\ceo 0,n\cef$.
On a alors $$u_{k}=u_{0}+k\,r \et u_{n-k}=u_{0}+(n-k)\,r\, ,$$
ce qui entraîne immédiatement
$$u_{k}+u_{n-k}=2\,u_{0}+n\,r=u_{0}+u_{n}.$$
Solution
Soit $n\in\N$. On a alors :
\begin{align*}
S_{n}&=u_{0}+u_{1\phantom{-1}}+\cdots +u_{n-1}+u_{n} \\ \\
S_{n}&=u_{n}+u_{n-1}+\cdots +u_{1\phantom{-n}}+u_{0}
\end{align*}
Comme, dans chaque colonne, la somme $u_{k}+u_{n-k}$
est constante et vaut $u_{0}+u_{n}$, en faisant la somme des deux lignes précédentes,
on obtient :
\[
2\,S_{n} = (n+1)\,(u_{0}+u_{n})
\]
et donc :
\[
S_{n} = \frac{(n+1)\,(u_{0}+u_{n})}{2}\cdot
\]