À part pour une valeur de $p$ ou une valeur de $n$, la relation :
\[
\sum_{k=1}^{n}\,a_{k}^{p}=\Big( \sum_{k=1}^{n}\,\,a_{k}\Big) ^{p}
\]
est en général fausse !
-
- Si l'on suppose $p=1$, alors la relation :
$$\sum_{k=1}^{n}\,a_{k}^{p}=\Big(\sum_{k=1}^{n}\,\,a_{k}\Big)^{p}$$
est évidemment vraie.
- Il en est de même si l'on suppose $n=1$.
Mais cela est vraiment de peu d'intérêt.
Justifier qu'en général on ne peut pas l'appliquer.
Il suffit de donner un contre exemple et le plus simple est $\ldots$
$\ldots$ de prendre :
\[
a_{1}=1,\quad a_{2}=1,\quad \ldots ,\quad a_{n}=1,
\]
ce qui donne :
\[
\sum_{k=1}^{n}\,a_{k}^{p}=n
\]
alors que :
\[
\Big( \sum_{k=1}^{n}\,\,a_{k}\Big) ^{p}=n^{p}.
\]
Bien justifier que les quantités obtenues sont différentes.
Pour justifier que ces quantités sont différentes, s'intéresser
à l'équation :
\[
n^p = p \et[ou encore] n^p-n=0.
\]
Solution
Supposons $p\geq 2$ et $n\geq 2$. Si l'on prend :
\[
a_{1}=1,\quad a_{2}=1,\quad \ldots ,\quad a_{n}=1,
\]
on a :
\[
\sum_{k=1}^{n}\,a_{k}^{p}=n
\]
alors que :
\[
\Big( \sum_{k=1}^{n}\,\,a_{k}\Big) ^{p}=n^{p}.
\]
Vérifions par l'absurde que ces deux quantités sont différentes.
Supposons :
\[
0 = n^p-n = n\,(n^{p-1}-1).
\]
Alors, comme $n>0$, on en déduit : $$n^{p-1}=1,$$
ce qui est impossible puisque $p-1\geq 1$ et $n\geq2$.