L'une est toujours vraie
La relation $\sum_{k=1}^{n}\,(r\,a_{k})=r\,\bigg(\sum_{k=1}^{n}\,\,a_{k}\bigg)$ est vraie.
En écrivant :
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\,(r\,a_{k})
&= (r\,a_{1})+(r\,a_{2})+\cdots +(r\,a_{n})\\
&= r\,(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})\\
&= r\,\bigg(\sum_{k=1}^{n}\,\,a_{k}\bigg)
\end{align*}
on voit que la première relation est vraie.
C'est en fait la conséquence d'une opération algébrique que vous utilisez depuis longtemps.
-
- Pour dérouler le calcul précédent, on a mis $r$ en facteur
dans chacun des termes de la somme.
- Si on remonte ces calculs, on utilise ce que l'on appelle la distributivité
de l'addition par rapport à la multiplication.
Ce sont deux facettes d'une même réalité.
, l'autre rarement.
Avez-vous essayé, ne serait-ce qu'avec $n=2$ ?
La relation :
\[
\sum_{k=1}^{n}\,(r+a_{k})=r+\sum_{k=1}^{n}\,\,a_{k}\tag{$*$}
\]
est en général fausse car :
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\,(r+a_{k})
&=(r+a_{1})+\cdots +(r+a_{n})\\ \\
&=n\, r +(\,a_{1}+\cdots +a_{n})\\ \\
&=n\, r +\sum_{k=1}^{n}\,\,a_{k}.
\end{align*}
Évidemment, si $n=1$ ou $r=0$, alors la relation $(*)$ est vraie
mais dans les autres cas, elle est fausse.
Comment modifier la relation fausse pour qu'elle devienne vraie ?
Ici, la bonne relation serait :
\[
\sum_{k=1}^{n}\,(r+a_{k})=n\,r+\sum_{k=1}^{n}\,\,a_{k},
\]
ce qui est évident d'après le développement de chacun des $\Sigma $.
En effet, on a :
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\,(r+a_{k})
&=(r+a_{1})+\cdots +(r+a_{n})\\ \\
&=n\, r +(\,a_{1}+\cdots +a_{n})\\ \\
&=n\, r +\sum_{k=1}^{n}\,\,a_{k}.
\end{align*}