La relation $\sum_{k=1}^{n}\,(a_{k}+b_{k})=\Big(\sum_{k=1}^{n}\,a_{k}\Big)+\Big(\sum_{k=1}^{n}\,b_{k}\Big)$
est vraie.
Écrire ces sommes avec des points de suspension.
Solution
En écrivant :
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\,(a_{k}+b_{k})
&= (a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots+(a_{n}+b_{n})\\ \\
&= (a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})+(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n})\\ \\
&= \Big(\sum_{k=1}^{n}\,a_{k}\Big)+\Big(\sum_{k=1}^{n}\,b_{k}\Big)
\end{align*}
on voit que la première relation est vraie d'après les règles usuelles
de calcul dans l'ensemble des nombres réels.
Pour la seconde relation, avez-vous essayé avec $n=2$ ?
Lorsque $n=2$, la relation proposée s'écrit :
\[
a_1\,b_1+a_2\,b_2 = (a_1+a_2)\,(b_1+b_2).
\]
Je pense que vous êtes tous capable de trouver
des valeurs $a_1$, $a_2$, $b_1$ et $b_2$ pour lesquelles
cette relation est fausse.
Remarque : Quand on s'intéresse à une propriété dépendant d'un entier $n$,
il peut toujours être intéressant de la regarder pour les « petites » valeurs de $n$.
Il y a évidemment une valeur de $n\in\N^*$ pour laquelle
la relation donnée est vraie.
Pour $n=1$, la relation :
\[
\sum_{k=1}^{n}\,(a_{k}\,b_{k})=\Big(\sum_{k=1}^{n}\,a_{k}\Big)\times\Big(\sum_{k=1}^{n}\,b_{k}\Big)
\]
est évidemment vraie mais cela est vraiment de peu d'intérêt.
En revanche, pour toute autre valeur de $n$, on peut
trouver un contre-exemple prouvant qu'elle est fausse.
N'oubliez pas que la première qualité d'un tel exemple
est sa simplicité.
Prendre tous les nombres égaux à $1$.
Solution
Supposons $n\geq 2$.
Prenons :
\[
a_1 = a_2= \cdots = a_n = 1
\et
b_1 = b_2= \cdots = b_n = 1.
\]
Alors, on a :
\[
\sum_{k=1}^{n}\,a_{k} = \sum_{k=1}^{n}\,b_{k} = n
\]
et donc :
\[
\Big(\sum_{k=1}^{n}\,a_{k}\Big)\times\Big(\sum_{k=1}^{n}\,b_{k}\Big) = n^2
\]
alors que :
\[
\sum_{k=1}^{n}\,(a_{k}\,b_{k})= n.
\]
Ces quantités sont évidemment différentes puisque $n\neq0$ et $n\neq1$.